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mière, dans une fonction de $u\,;$ la seconde, dans une fonction de $u_{1},\ldots .$ Nous désignerons ces fonctions par $\Pi (u),\Pi _{1}(u_{1}),\Pi _{2}(u_{2}),\ldots .$

Que l’on change ensuite, dans $\psi (t,t_{1},t_{2},\ldots ),\ t$ en $k+u,\ t_{1}$ en $k_{1}+u_{1},\ldots ,$ on aura une fonction de $u,u_{1},u_{2},\ldots ,$ que nous représenterons par $\Gamma (u,u_{1},u_{2},\ldots )\,;$ cela posé, on prendra l’intégrale

$\int d\mathrm {U} _{1}\Gamma \left(s-u_{1}-u_{2}-\ldots ,u_{1},u_{2},\ldots \right)\Pi \left(s-u_{1}-u_{2}-\ldots \right)\Pi _{1}(u_{1})\Pi _{2}(u_{2})\ldots$

depuis $u_{1}=0$ jusqu’à $u_{1}=s-u_{2}-u_{3}-\ldots .$

On multipliera cette première intégrale par $du_{2},$ et on l’intégrera depuis $u_{2}=0$ jusqu’à $u_{2}=s-u_{3}-\ldots \,;$ on multipliera cette seconde intégrale par $du_{3},$ et on l’intégrera depuis $u_{3}=0$ jusqu’à $u_{3}=s-u_{4}-\ldots .$ En continuant ainsi, on arrivera à une fonction de $s$ seule, que nous désignerons par $\Gamma$$(s)$ et cette fonction sera la somme demandée de toutes les valeurs de $\psi (t,t_{1},t_{2},\ldots ),$ multipliées par leurs probabilités respectives ; mais, pour cela, il faut avoir soin de changer, dans un terme quelconque multiplié par $l^{q^{(i)}+q_{1}^{(i')}+q_{2}^{(i'')}+\ldots },\ k$ en $q^{(i)},\ k_{1}$ en $q_{1}^{(i')},\ k_{2}$ en $q_{2}^{(i'')},\ldots \,;$ de diminuer $s$ de l’exposant de $l$ et, par conséquent, d’écrire, au lieu de $s,$$s-q^{(i)}-q_{1}^{(i')}-q_{2}^{(i'')}-\ldots \,;$ de faire cette dernière quantité égale à zéro toutes les fois qu’elle sera négative ; enfin, de supposer $l=1.$

Si $\Gamma (u,u_{1},u_{2},\ldots ),\Pi (u),\Pi _{1}(u_{1}),\Pi _{2}(u_{2}),\ldots$ sont des fonctions rationnelles et entières des variables $u,u_{1},u_{2},\ldots ,$ d’exponentielles, de sinus et de cosinus, toutes ces intégrations successives seront possibles, parce qu’il est dans la nature de ces quantités de ne reproduire par les intégrations que des quantités du même genre ; dans les autres cas, ces intégrations pourront n’être pas possibles, mais la méthode précédente réduit alors le problème aux quadratures des courbes.

VIII.

Le cas de fonctions rationnelles et entières offre quelques simplifications qu’il n’est pas inutile d’exposer. Pour cela, soit $u^{(i)}u_{1}^{(i')}u_{2}^{(i'')}\ldots$ un produit quelconque des variables $u,u_{1},u_{2},\ldots \,;$ si, après y avoir