de l’ordonnée
à la somme de toutes les ordonnées, ou, ce qui revient au même, à l’aire entière de la courbe, exprimera la probabilité que l’adresse d’un joueur quelconque est
Cela posé, pour en conclure la loi de possibilité des valeurs de
soit
et nommons
l’intégrale
prise depuis
jusqu’à
soient, de plus,
l’adresse de celui des deux joueurs
et
qui est le plus faible, et
celle du joueur le plus fort ; on aura
![{\displaystyle {\frac {x}{x+u}}={\frac {1-\alpha }{1+\alpha }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4020b6db78123e38403767a0281da32104bb503f)
ce qui donne
![{\displaystyle x+u={\frac {1+\alpha }{1-\alpha }}x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7381bae19da98a7b64d8a5886d959c669998758)
Or la probabilité que l’adresse de l’un des joueurs étant
celle de l’autre sera
est égale au double du produit des probabilités de
et de
et par conséquent égale à
![{\displaystyle {\frac {2\varphi (x)\varphi (x+u)}{a^{2}}}={\frac {2\varphi (x)\varphi \left({\cfrac {1+\alpha }{1-\alpha }}x\right)}{a^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09cbc69a3e61a304a23f05b42eb9df0361372fa9)
on aura donc
![{\displaystyle 2\int dx{\frac {\varphi (x)\varphi \left({\cfrac {1+\alpha }{1-\alpha }}x\right)}{a^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32dce7037463a68152aaa1f646631b33b2cbc399)
pour la probabilité entière de
l’intégrale étant prise depuis
jusqu’à
Quant à la limite
de
on observera que,
étant la plus petite adresse et
la plus grande, on a
![{\displaystyle {\frac {h'}{h}}={\frac {1+q}{1-q}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52f21a7e346e0d29edc3cbc15fee413899ff2901)
d’où l’on tire
![{\displaystyle q={\frac {h'-h}{h'+h}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e84a9cd0d011f1408ebe2bd4a23b50fec4237ed)
Lorsque la fonction
est inconnue, il est impossible de connaître exactement le sort des deux joueurs
et
et l’on est réduit à choisir les fonctions les plus vraisemblables. Nous nous occuperons