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on doit observer que les deux facteurs qui rendent intégrale celle-ci

$0={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+h^{2}y$

sont $e^{ht{\sqrt {-1}}}$ et $e^{-ht{\sqrt {-1}}},$ et que son intégrale complète est

$y=p\sin ht+q\cos ht\,;$

il faut donc, pour que la seconde valeur approchée de $y$ renferme l’arc $\alpha t,$ que $\mathrm {Q} e^{ht{\sqrt {-1}}}$ ou $\mathrm {Q} e^{-ht{\sqrt {-1}}}$ renferme un terme constant, après y avoir substitué, pour $y,\ p\sin ht+q\cos ht\,;$ or il est visible que cela ne peut être, à moins que $\mathrm {Q}$ ne renferme, après cette substitution, un terme multiplié par $\sin ht$ ou par $\cos ht,$ ce qui est conforme à ce que l’on sait d’ailleurs.

X.

On peut encore employer avec avantage la méthode de faire varier les arbitraires dans le cas où les équations différentielles renferment des quantités qui changent d’une manière presque insensible, ce qui se rencontre fréquemment dans l’Astronomie physique. Soit, par exemple, l’équation différentielle

$0={\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}+\mathrm {P}$

$\mathrm {P}$ étant fonction de $t,y,{\frac {dy}{dt}},\ldots ,{\frac {d^{n-1}y}{dt^{n-1}}}$ et des quantités $a,b,\ldots ,$ qui varient très lentement, en sorte que les différences ${\frac {da}{dt}},{\frac {db}{dt}},\ldots$ soient très petites ; supposons qu’en l’intégrant et en supposant $a,b,\ldots$ constants on ait

$y=\varphi (a,b,\ldots ,t,p,q,\ldots ),$

$p,q,\ldots$ étant les constantes arbitraires que donne l’intégration : on pourra représenter encore par cette forme l’expression complète de $y,$ dans le cas où l’on considère $a,b,\ldots$ comme variables ; mais il faut alors faire varier les arbitraires $p,q,\ldots$ de manière que ${\frac {dy}{dt}},{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},\ldots ,$