et l’on déterminera
et
au moyen des équations
![{\displaystyle {\frac {dp}{dt}}=-{\frac {\alpha mq}{4}}\left(1+{\frac {3\alpha m}{16}}\right),\qquad {\frac {dq}{dt}}=-{\frac {\alpha mp}{4}}\left(1-{\frac {3\alpha m}{16}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/131684ff42669df11005ccfffe56aec040d327cc)
Pour les intégrer, on supposera, suivant les méthodes connues,
![{\displaystyle p=fe^{\mu t},\qquad q=ge^{\mu t},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5822869c4e6aa55835e41e3968a8bddea5bbaa4a)
étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité, et l’on aura
![{\displaystyle f\mu =-{\frac {\alpha m}{4}}g\left(1+{\frac {3\alpha m}{16}}\right),\qquad g\mu =-{\frac {\alpha m}{4}}f\left(1-{\frac {3\alpha m}{16}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0772a6d4f26e65ed3ef5ccf6f344ac6564f51f5)
d’où l’on tire, en négligeant les quantités de l’ordre ![{\displaystyle \alpha ^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a0f578b9d6334c0d4b87d61ec4b95f79f9c32cd)
![{\displaystyle \mu =\pm {\frac {\alpha m}{4}},\qquad g=\mp f\left(1-{\frac {3\alpha m}{16}}+{\frac {9\alpha ^{2}m^{2}}{512}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f877a2d357a272882c5513a2b3033505ab70bcab)
donc, si l’on désigne par
et
deux constantes arbitraires, on aura
![{\displaystyle p=fe^{{\frac {\alpha m}{4}}t}+f'e^{-{\frac {\alpha m}{4}}t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01408ca78ae480b5a43040bda9dd1b8f0b5aaabf)
et
![{\displaystyle q=\left(1-{\frac {3\alpha m}{16}}+{\frac {9\alpha ^{2}m^{2}}{512}}\right)\left(f'e^{-{\frac {\alpha m}{4}}t}-fe^{{\frac {\alpha m}{4}}t}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/687b4c21bfd0f988e1702978dd64a1f072e523fa)
VI.
Il est facile d’étendre la règle de l’article IV à un nombre quelconque d’équations et de variables ; si l’on a, par exemple, les
équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\ \,+h^{2}\ \,y\ \,+\mathrm {T} \ \,+\alpha \mathrm {Y} ,\\0=&{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}\,+h'^{2}\,y'\,+\mathrm {T} '\,+\alpha \mathrm {Y} ',\\0=&{\frac {d^{2}y''}{dt^{2}}}+h''^{2}y''+\mathrm {T} ''+\alpha \mathrm {Y} '',\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94bfdd0e99ba8c89977611330d770982f3c561d9)
qui renferment celles du mouvement des corps célestes,
étant fonctions rationnelles et entières de sinus et de cosinus, et ![{\displaystyle \mathrm {Y,Y'} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aee9c2e8744913f4047f196d28238e507156b8a6)