l’arc
ce qui ne peut être, à moins que, dans le cas général,
ne renferme point l’arc
La substitution des valeurs de
et de
en
et
dans
en fait donc disparaître les arcs de cercle ; d’où il suit que l’on aura la même valeur de
en ne tenant aucun compte de ces arcs dans les valeurs de
et
ce qui donne
![{\displaystyle p=p''\qquad {\text{et}}\qquad q=q''\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56acf8c3cf06d76de1183ca6a9b8e005113efba4)
partant, on formera
de
en changeant dans cette dernière quantité
et
en
et
et en effaçant tous les termes qui renferment des arcs de cercle.
De là résulte cette règle fort simple pour avoir l’intégrale approchée de l’équation (A) sans arcs de cercle, lorsque cela est possible :
Intégrez les équations (B) par les méthodes ordinaires et formez ainsi l’équation (A’) ; vous en ferez disparaître les arcs de cercle en effaçant tous les termes qui en renferment ; mais alors, au lieu de supposer
et
constants, il faut les considérer comme des variables données par les équations
![{\displaystyle {\frac {dp}{dt}}=\mathrm {A} ,\qquad {\frac {dq}{dt}}=\mathrm {M} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2be647078d8b5b25561c82e747c25fcd0b224288)
Pour intégrer ces deux équations, on différenciera la première, et l’on aura la suivante
![{\displaystyle {\frac {d^{2}p}{dt^{2}}}={\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial p}}{\frac {dp}{dt}}+{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial q}}{\frac {dq}{dt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37f634c91eb011da132fc5e4c5e04966389c9abe)
qui, à cause de
devient
![{\displaystyle {\frac {d^{2}p}{dt^{2}}}={\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial p}}{\frac {dp}{dt}}+\mathrm {M} {\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial q}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2051b1b2194d53e074f107c33f3820f0500832c9)
maintenant, on tirera de l’équation
la valeur de
exprimée par une fonction de
et de
que nous désignerons par
et, en la substituant dans l’équation précédente, on aura une équation de cette forme
![{\displaystyle {\frac {d^{2}p}{dt^{2}}}=\Gamma \left(p,{\frac {dp}{dt}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9541fa0942a48d0703742c85a3a204397f5895a)