et
sont des fonctions de
que nous représenterons par
et
La comparaison des équations (A
) et (A
) donnera ainsi les suivantes :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t)=&p'+\mathrm {A} '(t-\theta )+\mathrm {B} '(t-\theta )^{2}+\ldots ,\\\psi (t)=&q'+\mathrm {M} '(t-\theta )+\mathrm {N} '(t-\theta )^{2}+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c805bdc069c4a11fe33fb5e5bcd71833cd5b70d8)
Il résulte de ces équations : 1o que
![{\displaystyle p'=\varphi (\theta )\qquad {\text{et}}\qquad q'=\psi (\theta )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d741036293be1409cf76613f4319259f7526554)
2o que les deux suites
![{\displaystyle p'+\mathrm {A} '(t-\theta )+\mathrm {B} '(t-\theta )^{2}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/669634d2bb5f5f634d67221dd912336695ef8efc)
et
![{\displaystyle q'+\mathrm {M} '(t-\theta )+\mathrm {N} '(t-\theta )^{2}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00cbca2e82136bcdce87f37df746913809276581)
ne sont que le développement des deux fonctions
![{\displaystyle \varphi (\theta -t-\theta )\qquad {\text{et}}\qquad \psi (\theta +t-\theta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2292584abc153d7adff8bb8f04ff29550e86d4cc)
en séries ordonnées par rapport aux puissances de
de sorte que l’on a, par la théorie des suites,
![{\displaystyle {\frac {\partial \varphi (\theta )}{\partial \theta }}=\mathrm {A} ',\qquad {\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial \theta }}=\mathrm {M} '\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e27d38efad3b0c9e12309e3e5ea8d54ce1a06b6)
partant, si l’on change dans ces équations
en
ce qui transforme
et
en
et
et que l’on désigne par
et
des fonctions de
et de
semblables à celles de
et de
en
et
ou de
et de
en
et
on aura les équations
![{\displaystyle {\frac {dp''}{dt}}=\mathrm {A} '',\qquad {\frac {dq''}{dt}}=\mathrm {M} '',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d6245db3b5fdbb19a0c726b128b1ac2c3f925a6)
au moyen desquelles on déterminera
et ![{\displaystyle q''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/128ed5d07c10380d8d42b0761a78032c7d3f88ca)
Pour ce qui regarde
la comparaison des équations (A
) et (A
) donne encore
or, si l’on suppose dans cette équation
et
se changent en
et
De plus, les arcs de cercle
disparaissent de
donc l’expression de
devant être identiquement la même que celle de
ne doit point, dans ce cas particulier, renfermer