est réductible à cette forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}z=\mathrm {R} &+\mathrm {A\varphi (\varpi )+A'\varphi _{1}(\varpi )+A''} \varphi _{2}(\varpi )+\ldots \\&+\mathrm {B} \int \mathrm {C} \varphi (\varpi )d\varpi +\mathrm {B} '\int \mathrm {C} '\varphi (\varpi )d\varpi +\ldots \\&+\mathrm {D} \int \mathrm {E} d\theta \int \mathrm {F} \varphi (\varpi )d\varpi +\mathrm {D} '\int \mathrm {E} 'd\theta \int \mathrm {F} '\varphi (\varpi )d\varpi +\ldots \\&+\mathrm {G} \int \mathrm {H} d\varpi \int \mathrm {I} d\theta \int \mathrm {K} \varphi (\varpi )d\varpi +\ldots \\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+a\psi (\theta )+a'\psi _{1}(\theta )+\ldots \\&+b\int c\psi (\theta )d\theta +\ldots \\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c962900c3aaa7890b30bb26ef6181c22b08f6fc)
VI.
Les recherches précédentes sont fondées sur la transformation des variables
et
dans celles-ci,
et
mais il peut arriver qu’elle soit impossible dans deux cas qu’il est nécessaire de discuter.
Le premier a lieu lorsque
et ϐ
l’équation (L) de l’article précédent devient dans ce cas
![{\displaystyle 0={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}+\gamma {\frac {\partial z}{\partial x}}+\delta {\frac {\partial z}{\partial y}}+\lambda z+\mathrm {T} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e93f594b5e892514c564a0674330ef95db1e641e)
et l’on a
![{\displaystyle {\frac {\partial \varpi }{\partial x}}=0\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6e16997987253af5d42c7cdfaa88f59c2711911)
et
![{\displaystyle \qquad {\frac {\partial \theta }{\partial x}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1366eb7b6cd396d38656198d1f43ef40c6a2ccdc)
ce qui indique que
et
sont fonctions de
seul, en sorte qu’il n’est pas possible alors d’avoir
en fonction de
et de ![{\displaystyle \theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/082e8402f1cbddec479b88e2ff0d1be5e9b95bd7)
Le second cas a lieu lorsque ϐ
on a dans ce cas
![{\displaystyle {\frac {\partial \varpi }{\partial x}}=-{\frac {1}{2}}\alpha {\frac {\partial \varpi }{\partial y}}\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a4406ee8f91d44f4caa56130b4a9dbaa7950cd1)
et
![{\displaystyle \qquad {\frac {\partial \theta }{\partial x}}=-{\frac {1}{2}}\alpha {\frac {\partial \theta }{\partial y}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f64920ef2da590733966bff6106b2198d3a3cb9d)
partant,
est fonction de
les deux variables
et
ne sont donc point indépendantes l’une de l’autre, et, puisque
et
sont indépendants l’un de l’autre, ils ne peuvent être donnés chacun par une fonction de
et de
Supposons conséquemment que, dans l’équation (L)