d’où l’on tirera facilement la valeur de
en y changeant ensuite
en
en
en
et nommant
ce que deviennent
lorsqu’on y change
en
on trouvera
![{\displaystyle q_{n,n_{1},n_{2}}={\frac {1}{1.2.3\ldots n\partial t^{n-1}.1.2.3\ldots n_{1}\partial t_{1}^{n_{1}-1}.1.2.3\ldots n_{2}\partial t_{2}^{n_{2}-1}.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77052a4c825a9ff2910eee763e03e996f4a27edf)
![{\displaystyle \times \partial ^{n+n_{1}+n_{2}-3}\left\{{\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{3}\scriptstyle \mathrm {U} \displaystyle }{\partial t\partial t_{1}\partial t_{2}}}\mathrm {Z} ^{n}\mathrm {Z} _{1}^{n_{1}}\mathrm {Z} _{2}^{n_{2}}\\+&{\frac {\partial ^{2}\scriptstyle \mathrm {U} \displaystyle }{\partial t\partial t_{1}}}\left(\mathrm {Z} ^{n}\mathrm {Z} _{2}^{n_{2}}{\frac {\partial \mathrm {Z} _{1}^{n_{1}}}{\partial t_{2}}}+\mathrm {Z} _{1}^{n_{1}}\mathrm {Z} _{2}^{n_{2}}{\frac {\partial \mathrm {Z} ^{n}}{\partial t_{2}}}\right)\\+&{\frac {\partial ^{2}\scriptstyle \mathrm {U} \displaystyle }{\partial t\partial t_{2}}}\left(\mathrm {Z} ^{n}\mathrm {Z} _{1}^{n_{1}}{\frac {\partial \mathrm {Z} _{2}^{n_{2}}}{\partial t_{1}}}+\mathrm {Z} _{1}^{n_{1}}\mathrm {Z} _{2}^{n_{2}}{\frac {\partial \mathrm {Z} ^{n}}{\partial t_{1}}}\right)\\+&{\frac {\partial ^{2}\scriptstyle \mathrm {U} \displaystyle }{\partial t_{1}\partial t_{2}}}\left(\mathrm {Z} ^{n}\mathrm {Z} _{1}^{n_{1}}{\frac {\partial \mathrm {Z} _{2}^{n_{2}}}{\partial t}}+\mathrm {Z} ^{n}\mathrm {Z} _{2}^{n_{2}}{\frac {\partial \mathrm {Z} _{1}^{n_{1}}}{\partial t}}\right)\\+&{\frac {\partial \scriptstyle \mathrm {U} \displaystyle }{\partial t}}\left(\mathrm {Z} _{1}^{n_{1}}\mathrm {Z} _{2}^{n_{2}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {Z} ^{n}}{\partial t_{1}\partial t_{2}}}+\mathrm {Z} _{1}^{n_{1}}{\frac {\partial \mathrm {Z} _{2}^{n_{2}}}{\partial t_{1}}}{\frac {\partial \mathrm {Z} ^{n}}{\partial t_{2}}}+\mathrm {Z} _{2}^{n_{2}}{\frac {\partial \mathrm {Z} ^{n}}{\partial t_{1}}}{\frac {\partial \mathrm {Z} _{1}^{n_{1}}}{\partial t_{2}}}\right)\\+&{\frac {\partial \scriptstyle \mathrm {U} \displaystyle }{\partial t_{1}}}\left(\mathrm {Z} ^{n}\mathrm {Z} _{2}^{n_{2}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {Z} _{1}^{n_{1}}}{\partial t\partial t_{2}}}+\mathrm {Z} ^{n}{\frac {\partial \mathrm {Z} _{2}^{n_{2}}}{\partial t}}{\frac {\partial \mathrm {Z} _{1}^{n_{1}}}{\partial t_{2}}}+\mathrm {Z} _{2}^{n_{2}}{\frac {\partial \mathrm {Z} ^{n}}{\partial t_{2}}}{\frac {\partial \mathrm {Z} _{1}^{n_{1}}}{\partial t}}\right)\\+&{\frac {\partial \scriptstyle \mathrm {U} \displaystyle }{\partial t_{2}}}\left(\mathrm {Z} ^{n}\mathrm {Z} _{1}^{n_{1}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {Z} _{2}^{n_{2}}}{\partial t\partial t_{1}}}+\mathrm {Z} ^{n}{\frac {\partial \mathrm {Z} _{1}^{n_{1}}}{\partial t}}{\frac {\partial \mathrm {Z} _{2}^{n_{2}}}{\partial t_{1}}}+\mathrm {Z} _{1}^{n_{1}}{\frac {\partial \mathrm {Z} ^{n}}{\partial t_{1}}}{\frac {\partial \mathrm {Z} _{2}^{n_{2}}}{\partial t}}\right)\end{aligned}}\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7ede102698d60779dc9d276cfd4006ce53b525b)
et ainsi de suite.
IX.
En considérant d’autres équations aux différences partielles entre
et
on pourrait, par la méthode de l’article VII, développer en série une fonction quelconque
de
et l’on trouverait ainsi une infinité d’équations très générales entre
et
pour lesquelles ce développement serait possible ; mais on serait encore bien éloigné d’avoir la solution du problème général dans lequel on se propose de développer en série une fonction quelconque de
et de
quelle que soit l’équation qui donne
en
pourvu que la série qui en résulte ne renferme que des puissances positives et entières de
Voici, pour le résoudre, un théorème qui, par sa généralité et par sa simplicité, peut mériter l’attention des analystes.