même article,
![{\displaystyle q_{n,n_{1}}={\frac {\cfrac {\partial ^{n+n_{1}}u}{\partial \alpha ^{n}\partial \alpha _{1}^{n_{1}}}}{1.2.3\ldots n.1.2.3\ldots n_{1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e8ded7d10761953642267120c495f8dae37350f)
pourvu que l’on suppose
et
égaux à zéro, après les différentiations, dans le second membre de cette équation ; cela posé, en considérant
comme fonction de
seul on a, par l’article précédent,
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{n}u}{\partial \alpha ^{n}}}={\frac {\partial ^{n-1}.z^{n}{\cfrac {\partial u}{\partial t}}}{\partial t^{n-1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53a26006211ae3859e690e8ada5eedeb04393055)
partant
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{n+n_{1}}u}{\partial \alpha ^{n}\partial \alpha _{1}^{n_{1}}}}={\frac {\partial ^{n-1}}{\partial t^{n-1}}}{\frac {\partial ^{n_{1}}.z^{n}{\cfrac {\partial u}{\partial t}}}{\partial \alpha _{1}^{n_{1}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfe64f66757314b2267cd7ae58fd4a36e1beb6b2)
or on a
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{n_{1}}.z^{n}{\cfrac {\partial u}{\partial t}}}{\partial \alpha _{1}^{n_{1}}}}={\frac {\partial ^{n_{1}}.z{\cfrac {\partial u}{\partial t}}}{\partial \alpha _{1}^{n_{1}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e0438ffddbb31c93d29155f9b02fbc11b352814)
pourvu que dans le résultat de la différentiation du second membre de cette équation on change
en
de plus, on a, par l’article précédent,
![{\displaystyle z{\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {\partial u}{\partial \alpha }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e10f02da144cd05209217041eb10fcbe705ce4f)
on aura donc, en changeant
en
dans l’expression de
du second membre de l’équation suivante,
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{n+n_{1}}u}{\partial \alpha ^{n}\partial \alpha _{1}^{n_{1}}}}={\frac {\partial ^{n-1}}{\partial t^{n-1}}}{\frac {\partial ^{n_{1}+1}u}{\partial \alpha \partial \alpha _{1}^{n_{1}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24c704abfd898efbf3a76f433de2570827f689fe)
Présentement, on a
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{n_{1}}u}{\partial \alpha _{1}^{n_{1}}}}={\frac {\partial ^{n_{1}-1}}{\partial t_{1}^{n_{1}-1}}}z_{1}^{n_{1}}{\frac {\partial u}{\partial t_{1}}}={\frac {\partial ^{n_{1}-1}}{\partial t_{1}^{n_{1}-1}}}{\frac {\partial u}{\partial \alpha _{1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8c86a8d9eace64bc599c09d82c99ef0994c1b6a)
pourvu que dans l’expression de
du second membre de cette équation on change
en
partant, on aura
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{n+n_{1}}u}{\partial \alpha ^{n}\partial \alpha _{1}^{n_{1}}}}={\frac {\partial ^{n+n_{1}-2}{\cfrac {\partial ^{2}u}{\partial \alpha \partial \alpha _{1}}}}{\partial t^{n-1}\partial t_{1}^{n_{1}-1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01b9c67adff4c45825195aee64501f244ffb3c0b)