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le signe $+$ ayant lieu dans ces deux formules si $s$ est impair, et le signe $-$ s’il est pair.

Il suit de ce que nous venons de voir que l’expression de $\sum u$ peut être mise sous cette forme

$\sum u={\frac {\int udt}{\alpha }}-{\frac {1}{2}}u+\alpha h_{1}{\frac {\partial u}{\partial t}}-\alpha ^{3}h_{2}{\frac {\partial ^{3}u}{\partial t^{3}}}+\alpha ^{5}h_{3}{\frac {\partial ^{5}u}{\partial t^{5}}}-\ldots ,$

et que l’on a généralement

$h_{i}={\frac {1}{1.2.3\ldots (2i-1)2^{2i-1}\left(2^{2i}-1\right)}}$

$\times \left\{{\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}i^{2i-1}\\&-(i-1)^{2i-1}\left(1+{\frac {1}{2}}2i\right)+(i-2)^{2i-1}\left[1+2i+{\frac {1}{2}}{\frac {2i(2i-1)}{1.2}}\right]\\&-(i-3)^{2i-1}\left[1+2i+{\frac {2i(2i-1)}{1.2}}+{\frac {1}{2}}{\frac {2i(2i-1)(2i-2)}{1.2.3}}\right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\},$

VI.

Reprenons les équations (3) et (5) des articles III et IV

(3)

$\Delta ^{i}u=\left(e^{\alpha {\frac {\partial u}{\partial t}}}-1\right)^{i},$

(5)

$\sideset {}{^{i}}\sum u={\frac {1}{\left(e^{\alpha {\frac {\partial u}{\partial t}}}-1\right)^{i}.}}$

Ces deux équations peuvent être représentées par la suivante

(8)

$(\Delta u)^{i}=\left(e^{\alpha {\frac {\partial u}{\partial t}}}-1\right)^{i},$

pourvu que dans les deux membres de cette équation on applique aux caractéristiques $\Delta$ et $\partial$ les exposants des puissances de $\Delta u$ et de $\partial u,$ et que l’on change les différences négatives en intégrales ; par exemple que l’on écrive $\sideset {}{^{i}}\sum u$ au lieu de $\Delta ^{-i}u,$ et $\int ^{i}udt^{i}$ au lieu de ${\frac {\partial ^{-i}u}{\partial t^{-i}}}.$

L’équation (8) ayant lieu, soit que la puissance $i$ de $\Delta u$ soit positive ou qu’elle soit négative, il en résulte qu’une fonction quelconque de