Dans le cas où
est impair et plus grand que l’unité, il est très remarquable que l’expression de
se réduise toujours à zéro ; pour le faire voir, nous observerons que si l’on ne considère dans les premiers membres des équations suivantes que les puissances
dans lesquelles
est positif, on aura, par la théorie connue des différences finies,
![{\displaystyle {\begin{aligned}(n-1)^{n-1}&-n(n-2)^{n-1}+{\frac {n(n-1)}{1.2}}(n-3)^{n-1}-\ldots \\=\Delta ^{n}(n&-1)^{n-1}+1,\\(n-2)^{n-1}&-n(n-3)^{n-1}+{\frac {n(n-1)}{1.2}}(n-4)^{n-1}-\ldots \\=\Delta ^{n}(n&-2)^{n-1}+2^{n-1}-n,\\(n-3)^{n-1}&-n(n-4)^{n-1}+{\frac {n(n-1)}{1.2}}(n-5)^{n-1}-\ldots \\=\Delta ^{n}(n&-3)^{n-1}+3^{n-1}-2^{n-1}n+{\frac {n(n-1)}{1.2}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29aff67fdccd9feaaadb11a56d5d802de10c1d02)
De plus, on a généralement
en substituant ces valeurs dans l’expression de
on trouvera facilement qu’elle se réduit à zéro dans le cas où
est impair, et que, dans le cas où
est pair et égal à
on a
![{\displaystyle q_{2s-1}={\frac {\pm 1}{1.2.3\ldots (2s-1)2^{2s-1}\left(2^{2s}-1\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1732c456ec173d6e6250abf472f10f22ea3ff754)
![{\displaystyle \times \left\{{\begin{aligned}{\frac {1}{2}}&\left[s^{2s-1}-2s(s-1)^{2s-1}+{\frac {2s(2s-1)}{1.2}}(s-2)^{2s-1}-\ldots \right]\\&-\left[(s-1)^{2s-1}-2s(s-2)^{2s-1}+\ldots \right]\\&+\left[(s-2)^{2s-1}-\ldots \right]\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0ee9e6265ea6b17142c738ec35fad74711de33f)
expression que l’on peut mettre sous cette forme très simple
![{\displaystyle q_{2s-1}={\frac {\pm 1}{1.2.3\ldots (2s-1)2^{2s-1}\left(2^{2s}-1\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1732c456ec173d6e6250abf472f10f22ea3ff754)
![{\displaystyle \times \left\{{\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}s^{2s-1}\\&-(s-1)^{2s-1}\left(1+{\frac {1}{2}}2s\right)+(s-2)^{2s-1}\left[1+2s+{\frac {1}{2}}{\frac {2s(2s-1)}{1.2}}\right]\\&-(s-3)^{2s-1}\left[1+2s+{\frac {2s(2s-1)}{1.2}}+{\frac {1}{2}}{\frac {2s(2s-1)(2s-2)}{1.2.3}}\right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/880bcc4d22908ad65d6f4acee9ddf43f8e920bd4)