négatives ou nulles de
on aura
![{\displaystyle \left(e^{\alpha }+1\right)^{n}{\frac {d^{n-1}\left(e^{\alpha }+1\right)^{-1}}{d\alpha ^{n-1}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e85347b08eb8837859b2b0257f4888dac32987b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\pm &\left\{\quad \ \ e^{(n-1)\alpha }-e^{(n-2)\alpha }\left(2^{n-1}-n\right)\right.\\&\quad +e^{(n-2)\alpha }\left[3^{n-1}-2^{n-1}n+{\frac {n(n-1)}{1.2}}\right]\\&\quad -e^{(n-4)\alpha }\left[4^{n-1}-3^{n-1}n+2^{n-1}{\frac {n(n-1)}{1.2}}-{\frac {n(n-1)(n-2)}{1.2.3}}\right]\\&\quad +\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\begin{aligned}\\\\\end{aligned}}\left.\right\}\\=\mathrm {A} &\quad e^{(n-1)\alpha }+\mathrm {A} ^{(1)}e^{(n-2)\alpha }+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/021adf1454a9e0c1654272b1873078254f91443e)
Si l’on substitue cette valeur de
dans l’équation (7), et que l’on y suppose
on aura
![{\displaystyle {\frac {d^{n-1}{\cfrac {1}{e^{\alpha }+1}}}{d\alpha ^{n-1}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/145d6c6ce6316cfac948c764bda0934c5e3c7917)
![{\displaystyle \pm {\frac {\left\{{\begin{aligned}1&-\left(2^{n-1}-n\right)+\left[3^{n-1}-2^{n-1}n+{\frac {n(n-1)}{1.2}}\right]\\&-\left[4^{n-1}-3^{n-1}n+2^{n-1}{\frac {n(n-1)}{1.2}}-{\frac {n(n-1)(n-2)}{1.2.3}}\right]\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}}{2^{n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edf798a508e36d4bb8170f3f948e0187d1b03478)
partant
![{\displaystyle q_{n-1}={\frac {\pm 1}{1.2.3\ldots (n-1)\left(2^{n}-1\right)2^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c12cd3fa5c4db8bda975b265758b331c25b51b96)
![{\displaystyle \times \left\{{\begin{aligned}1&-\left(2^{n-1}-n\right)+\left[3^{n-1}-2^{n-1}n+{\frac {n(n-1)}{1.2}}\right]\\-&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\pm &\left[(n-1)^{n-1}-(n-2)^{n-1}n+(n-3)^{n-1}{\frac {n(n-1)}{1.2}}-\ldots \right]\end{aligned}}\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/699d81c2f72bd6b6fb9218666532dcd62cdd3e87)
le signe supérieur ayant lieu dans cette dernière équation si
est pair, et l’inférieur s’il est impair.
La formule précédente n’a lieu qu’au tant que
est plus grand que
et l’on ne peut trouver par son moyen la valeur de
mais cette valeur est très facile à déterminer en considérant que
![{\displaystyle {\frac {1}{e^{\alpha }-1}}={\frac {1}{\alpha +{\cfrac {\alpha ^{2}}{1.2}}+\ldots }}={\frac {1}{\alpha }}-{\frac {1}{2}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6144f207de38231403330249669c34e253ec8ca)
d’où l’on tire
![{\displaystyle q_{0}=-{\frac {1}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7d31124dbe780a0b2749d44d7ab4ad73aa6a8c0)