III.
Le théorème de l’article précédent donne immédiatement en série la différence finie d’une fonction quelconque
de
lorsqu’on y suppose
croître de
croître de
croître de
car, en nommant
ce que devient
par ces accroissements, on aura, en vertu de ce théorème,
![{\displaystyle u'=u+\alpha {\frac {\partial u}{\partial t}}+\alpha _{1}{\frac {\partial u}{\partial t_{1}}}+\ldots +{\frac {\alpha ^{2}}{1.2}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b014382318cf895ab185f79ebfb1c6f7f64a02fc)
en désignant donc, comme à l’ordinaire, par
la différence finie
on aura
![{\displaystyle \Delta u=\alpha {\frac {\partial u}{\partial t}}+\alpha _{1}{\frac {\partial u}{\partial t_{1}}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f698d82788a5699738a10aef8b75277eea67335a)
Il est aisé d’en déduire les différences finies successives de
; mais, pour ne point nous embarrasser dans de trop longs calculs, nous ne considérerons ici qu’une seule variable
il sera facile ensuite d’étendre les résultats suivants à un nombre quelconque de variables.
Dans le cas d’une seule variable
on a
(1)
|
|
|
En prenant la différence finie de cette équation, on aura
![{\displaystyle \Delta ^{2}u=\alpha \Delta {\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {\alpha ^{2}}{1.2}}\Delta {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}+{\frac {\alpha ^{3}}{1.2.3}}\Delta {\frac {\partial ^{3}u}{\partial t^{3}}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da7961e376df4eef3cba75653afbb9497a29f09c)
Or on a, en changeant successivement dans l’équation (1)
en ![{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}},{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8437f2c61f49a706fa3254bbf1aff33b047eaf79)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha \ \ \Delta {\frac {\partial u}{\partial t}}\ \ =&\alpha ^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}+{\frac {\alpha ^{3}}{1.2}}{\frac {\partial ^{3}u}{\partial t^{3}}}+\ldots ,\\\alpha ^{2}\Delta {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=&\alpha ^{3}{\frac {\partial ^{3}u}{\partial t^{3}}}+{\frac {\alpha ^{4}}{1.2}}{\frac {\partial ^{4}u}{\partial t^{4}}}+\ldots ,\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74c13083f9f2efeebd1479ffbd94a9b128de9551)