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on aura

$px=\varphi '(y-lp)=1+i\Gamma '(y-lp)\,;$

d’où l’on tire

$p={\frac {1}{x}}+{\frac {i\Gamma '(y-lp)}{x}},$

en représentant par $\Gamma '(y-lp)$ la différence de $\Gamma (y-lp),$ divisée par $d(y-lp)\,;$ sur cela, j’observerai en passant que, dans la suite, je désignerai ${\frac {d\Gamma (\theta )}{d\theta }}$ par $\Gamma '(\theta ),\ {\frac {d\Gamma '(\theta )}{d\theta }}$ par $\Gamma ''(\theta ),\ {\frac {d\Gamma ''(\theta )}{d\theta }}$ par $\Gamma '''(\theta ),\ldots .$ Je représenterai semblablement $\int d\theta \Gamma (\theta )$ par $\Gamma _{1}(\theta ),\ \int d\theta \Gamma _{1}(\theta )$ par $\Gamma _{2}(\theta ),\ \int d\theta \Gamma _{2}(\theta )$ par $\Gamma _{3}(\theta ),\ldots ,$ et la même notation aura lieu pour toutes les fonctions arbitraires.

Présentement, si l’on néglige les quantités de l’ordre $i^{2},$ on pourra substituer, dans les termes multipliés par $i,\ {\frac {1}{x}}$ au lieu de $p,$ et l’on aura

$p={\frac {1}{x}}+{\frac {i\Gamma '(y+lp)}{x}}\,;$

donc

${\begin{aligned}z=&px+\varphi (y-lp)\\=&px+y-lp+i\Gamma (y-lp)\\=&1+y+lx+2i\Gamma '(y+lx)-l\left[1+i\Gamma '(y+lx)\right]\\=&1+y+lx+i\Gamma '(y+lx)\,;\end{aligned}}$

partant, l’équation

$z=1+y+lx+\Gamma '(y+lx)$

satisfait à celle-ci

${\frac {\partial z}{\partial y}}=x{\frac {\partial z}{\partial x}},$

et, par conséquent, elle en est l’intégrale complète.

L’expression précédente de $z$ peut être mise sous cette forme plus simple

$z=\psi (y+lx)\,;$

pour voir maintenant d’une manière directe comment cette expression de $z$ coïncide avec celle-ci

$z=px+\varphi (y-lp),$