mogènes par rapport à
doivent se détruire réciproquement ; d’où il est aisé de conclure que l’équation
![{\displaystyle z=\mathrm {N+N'} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f189850de6b4aa9bc599900e25dbd4348e4427ce)
satisfait à l’équation (K), et qu’elle en est conséquemment l’intégrale complète, puisqu’elle renferme la fonction arbitraire
or, la quantité
étant une fonction déterminée de
et de
ce cas rentre dans celui que nous avons considéré ci-dessus.
Pour éclaircir le raisonnement précédent par un exemple fort simple, considérons l’équation linéaire aux différences partielles
![{\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial y}}=x{\frac {\partial z}{\partial x}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38a02a4b0b7fcab0d3b772aa6f0b21a386360b69)
si l’on fait
et ![{\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial y}}=q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eae05e3d3b608858602fd6100b1dd948630bd760)
on aura
![{\displaystyle q=px,\qquad dz=pdx+qdy\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f0ab4417a0e9f4058fb9ef16f7e00f7177e239e)
partant,
![{\displaystyle dz=pdx+pxdy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bbfd1f78ba990d567b374bbeb9e13f1506dcd17)
et, en intégrant,
![{\displaystyle z=px+\int px\left(dy-{\frac {dp}{p}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/570b1e7fab702739489679275697bd9f39cde1e6)
donc
est fonction de
soit
![{\displaystyle \int px\left(dy-{\frac {dp}{p}}\right)=\varphi (y-lp)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba63252f10ba96ff4d4ed53b482a8608c3e573ef)
on aura
![{\displaystyle z=px+\varphi (y-lp)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbe9f2fe4c8cc08578cac14222c5dea6629e55d1)
et
sera déterminé par l’équation
![{\displaystyle px=\varphi '(y-lp),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be1a239b840c18039619128574a3773485bb10f7)
en sorte que la quantité
enveloppée sous le signe de la fonction arbitraire, est ici indéterminée. Pour faire voir comment on peut la réduire à être déterminée, soit
![{\displaystyle \varphi (y-lp)=y-lp+i\Gamma (y-lp)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30c27e159e9aa205cfcaa118a34cc13e8c587473)