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pression précédente de $r,$ on observera que, si l’on prend le radical avec le signe $+,$ on aura la valeur de $r,$ et que si on le prend avec le signe $-,$ on aura la valeur de $-r'\,;$ d’où l’on tirera facilement

$r-r'=-2s\mathrm {M} +\alpha \mathrm {K} \left(\sideset {^{1}}{}\mu +\sideset {^{11}}{}\mu \right)\sin \nu \cos \nu \left\{{\begin{aligned}&s\cos \theta \sin p\cos q\\+s\sin &\theta \cos \varpi \sin p\sin q\\-2s\mathrm {M} &\sin ^{2}p\sin q\cos q\end{aligned}}\right\}$

$+{\frac {\alpha \mathrm {K} \left(\sideset {^{1}}{}\mu +\sideset {^{11}}{}\mu \right)\sin \nu \cos \nu }{\sqrt {1-s^{2}+s^{2}\mathrm {M} ^{2}}}}$

$\times \left\{{\begin{aligned}s^{2}&\sin \theta \cos \theta \cos \varpi -s2\mathrm {M} \sin \theta \cos \varpi \sin p\sin q\\&-s^{2}\mathrm {M} \cos \theta \sin p\cos q\\&+\sin ^{2}p\sin q\cos q\left(1-s^{2}+2s^{2}\mathrm {M} ^{2}\right)\end{aligned}}\right\},$

$\sideset {^{1}}{}\mu$ étant ce que devient $\mu '$ lorsqu’on y substitue

$s\cos \theta -s\mathrm {M} \sin p\sin q+\sin p\sin q{\sqrt {1-s^{2}+s^{2}\mathrm {M} ^{2}}}$

au lieu de $\cos \theta ',$ et $\sideset {^{11}}{}\mu$ étant ce que devient cette même quantité lorsqu’on y substitue

$s\cos \theta -s\mathrm {M} \sin p\sin q-\sin p\sin q{\sqrt {1-s^{2}+s^{2}\mathrm {M} ^{2}}}$

au lieu de $\cos \theta '.$

On peut extrêmement simplifier le calcul de la double intégration de la différentielle

$(r-r')\sin ^{2}p{\frac {\cos \theta \cos q-\sin \theta \cos \varpi \sin q}{\cos \theta }}dpdq$

par les considérations suivantes :

1^o On peut rejeter les termes de la forme $\mathrm {P} '\cos pdpdq,\ \mathrm {P} '$ étant fonction de $\sin q,\cos q,\sin p$ et $\cos ^{2}p,$ parce que ces termes étant les mêmes avec des signes contraires lorsque $p$ se change en $180^{\circ }-p,$ il est clair que l’intégrale entière $\int _{0}^{\pi }\mathrm {P} '\cos pdp$ doit être nulle ; par la même raison, on peut rejeter les termes de la forme $\mathrm {Q} \cos qdpdq,\ \mathrm {Q}$ étant fonction de $\sin p,\cos p,\sin q$ et $\cos ^{2}q.$

2^o L’attraction du sphéroïde sur le point $\mathrm {N} '$ semblablement placé que le point $\mathrm {N} ,$ de l’autre côté du plan $\mathrm {ALB} ,$ décomposée parallèlement à $\mathrm {CL} ,$ est la même que sur le point $\mathrm {N} \,;$ en sorte que, si l’on