Supposons, comme précédemment,
l’équation
![{\displaystyle a\sin \theta =-l{\frac {\partial .b\sin \theta \left(1+{\cfrac {q}{l}}\sin ^{2}\theta \right)}{\partial \theta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66545f9a823a81392a7475942f7f56f6ee352c79)
donnera
![{\displaystyle {\begin{aligned}h\sin \theta \cos ^{r}\theta +h^{(1)}&\sin \theta \cos ^{r-1}\theta +\ldots \\=-{\frac {l\sin \theta }{i^{2}+4n^{2}}}&\left[r(r+1)(gh-\sigma )\sin ^{r}\theta \right.\\&\left.+r(r-1)\left(gh^{(1)}-gh-\sigma ^{(1)}+\sigma \right)\cos ^{r-1}\theta +\ldots \right]\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d641aef4fa6b0670aac24dc820a1769672f4dae9)
en comparant les différentes puissances de
on aura d’abord
![{\displaystyle h=-{\frac {lr(r+1)(gh-\sigma )}{i^{2}+4n^{2}}}=-{\frac {lgr(r+1)}{i^{2}+4n^{2}}}\left[1-{\frac {3\Delta }{(2r+1)\Delta ^{(1)}}}\right]h,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fccf4441ef8c9ca4aa8b595c5d27c35507f60d1e)
ce qui donne
![{\displaystyle q={\frac {4n^{2}}{r(r+1)g\left[1-{\cfrac {3\Delta }{(2r+1)\Delta ^{(1)}}}\right]}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6662e5a5fec8e6d8404ff4071c5dcb05048a1082)
on déterminera ensuite le rapport des coefficients
au coefficient
au moyen des autres équations que donne la comparaison des puissances de
et
restera arbitraire.
On prouvera facilement, comme ci-dessus, que la supposition de
négatif entraîne celle de
moindre que
et, dans ce cas, l’équilibre sera ferme ; mais, si l’on a
sera positif et l’équilibre ne sera ferme qu’en faisant
négatif et
Si l’on suppose
on aura le cas que nous avons discuté précédemment ; en supposant
on aura celui dans lequel la figure du sphéroïde reste elliptique durant l’oscillation et s’aplatit plus ou moins que dans l’état d’équilibre, qui ne sera ferme alors que dans la supposition de
moindre que
à moins que, dans la supposition contraire, on ne fasse
négatif et
Examinons, d’après ces calculs, les conditions que quelques géomètres ont exigées dans la recherche de la figure des planètes et les raisons sur lesquelles ils se sont fondés.