de
mais que, pour leur exactitude, il est nécessaire que
et
ne renferment aucun terme semblable. Pour satisfaire présentement à ces équations, supposons
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}y=&ae^{it}+a',\qquad &\mathrm {D} =&fe^{it}+f',\\u=&be^{it}+b',\\{\frac {dv}{dt}}=&ce^{it}+c',\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f6b359e1f0a8ac1bcf5b8fc13529fc3b5b4bf69)
étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité, et ![{\displaystyle a,a',f,f',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4eff85c2656ae5fff6b2229becb3bcffff62c32)
étant des fonctions de
seul ; on formera les cinq équations
![{\displaystyle a'\sin \theta =-l{\frac {\partial .b'\sin \theta \left(1+{\cfrac {q}{l}}\sin ^{2}\theta \right)}{\partial \theta }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/139e34de7a697718d4eb5d0821a68d5345c9854b)
![{\displaystyle -2nc'\sin \theta \cos \theta =-g{\frac {\partial a'}{\partial \theta }}+{\frac {\partial f'}{\partial \theta }}\Delta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c57c27dc13945863264a7a12ac8b4c919a09d5a)
![{\displaystyle a\sin \theta =-l{\frac {\partial .b\sin \theta \left(1+{\cfrac {q}{l}}\sin ^{2}\theta \right)}{\partial \theta }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a82c04b7ba7c30ff681e3e55bd22def66913226a)
![{\displaystyle i^{2}b-2nc\sin \theta \cos \theta =-g{\frac {\partial a}{\partial \theta }}+{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\Delta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e07a7bde0c8e86c51058a359f2e87094e994187b)
![{\displaystyle c\sin ^{2}\theta +2nb\sin \theta \cos \theta =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef3f96815a4773323e51b7b8e3775bbb9c77fb83)
Au moyen des deux premières équations, on déterminera deux des trois quantités
et
lorsqu’on connaîtra la troisième ; la cinquième équation donne
la troisième et la quatrième deviendront ainsi
![{\displaystyle a\sin \theta =-l{\frac {\partial .b\sin \theta \left(1+{\cfrac {q}{l}}\sin ^{2}\theta \right)}{\partial \theta }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a82c04b7ba7c30ff681e3e55bd22def66913226a)
![{\displaystyle \left(i^{2}+4n^{2}\cos ^{2}\theta \right)b=-g{\frac {\partial a}{\partial \theta }}+{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\Delta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33b9367c6569a13ebcf6ab8bd129d02046135920)
Supposons que l’on ait déterminé
et
de manière à satisfaire à ces équations, on aura, pour un temps quelconque
les valeurs de
et