Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 9.djvu/243

au moins dans l’état actuel de l’Analyse, nous nous bornerons ici à examiner quelques cas particuliers fort étendus.

En faisant $\mathrm {R} =0,$ dans les équations (6), (7) et (9), elles deviendront

$y\sin \theta =-l{\frac {\partial .u\gamma \sin \theta }{\partial \theta }}-l\gamma {\frac {\partial v}{\partial \varpi }}\sin \theta ,$

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}-2n{\frac {dv}{dt}}\sin \theta \cos \theta =&-g{\frac {\partial y}{\partial \theta }}+{\frac {\partial \mathrm {D} }{\partial \theta }}\Delta ,\\{\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}\sin ^{2}\theta +2n{\frac {du}{dt}}\sin \theta \cos \theta =&-g{\frac {\partial y}{\partial \varpi }}+{\frac {\partial \mathrm {D} }{\partial \varpi }}\Delta \,;\end{aligned}}$

pour les simplifier, nous supposerons l’ébranlement primitif tel que le fluide conserve toujours la figure d’un solide de révolution, ce qui donne

${\frac {\partial y}{\partial \varpi }}=0,\qquad {\frac {\partial v}{\partial \varpi }}=0$

et

${\frac {\partial \mathrm {D} }{\partial \varpi }}=0.$

Nous supposerons ensuite que le solide recouvert par la mer est un ellipsoïde de révolution ; la profondeur $l\gamma$ du fluide est alors égale à $l+q\sin ^{2}\theta ,\ q$ pouvant être positif ou négatif, mais devant être dans ce dernier cas moindre que $-l,$ autrement le fluide ne recouvrirait pas le sphéroïde à l’équateur. Les trois équations précédentes se changeront ainsi dans les suivantes :

$y\sin \theta =-l{\frac {\partial .\left(1+{\cfrac {q}{l}}\sin ^{2}\theta \right)u\sin \theta }{\partial \theta }},$

${\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}-2n{\frac {dv}{dt}}\sin \theta \cos \theta =-g{\frac {\partial y}{\partial \theta }}+{\frac {\partial \mathrm {D} }{\partial \theta }}\Delta ,$

${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}\sin ^{2}\theta +2n{\frac {du}{dt}}\sin \theta \cos \theta =0.$

Il est aisé de s’assurer par l’article III que ces équations subsisteraient encore dans le cas où $v$ renfermerait un terme proportionnel au temps $t,$ et, par conséquent, où ${\frac {dv}{dt}}$ renfermerait un terme indépendant