plus à une fonction arbitraire infiniment petite, que je désigne par
étant un coefficient infiniment petit. Si l’on substitue cette valeur de
dans
et que l’on réduise cette quantité dans une suite ascendante par rapport à
on aura une expression de cette forme
![{\displaystyle z=\mathrm {N} +i\mathrm {N} '+i^{2}\mathrm {N} ''+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35f46c1abf6c958c20c6824cff3aa6eb86240329)
En substituant cette valeur de
dans l’équation
(K)
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que je nommerai dorénavant, pour simplifier, l’équation (K), tous les termes homogènes par rapport à
doivent se détruire réciproquement ; on aura donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&{\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial x}}\ \,+\alpha {\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial y}}\ \,+{\text{ϐ}}\mathrm {N+T} ,\\0=&{\frac {\partial \mathrm {N} '}{\partial x}}\,+\alpha {\frac {\partial \mathrm {N} '}{\partial y}}\,+{\text{ϐ}}\mathrm {N} ',\\0=&{\frac {\partial \mathrm {N} ''}{\partial x}}+\alpha {\frac {\partial \mathrm {N} ''}{\partial y}}+{\text{ϐ}}\mathrm {N} '',\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcff18c895f94381e4df22464afd3ec6718bd72c)
partant, l’équation
![{\displaystyle z=\mathrm {N+N'} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f189850de6b4aa9bc599900e25dbd4348e4427ce)
satisfait à l’équation (K) ; de plus, elle en est l’intégrale complète, puisque
enferme la fonction arbitraire ![{\displaystyle \Gamma (\theta ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0a810e07e9bf97a4e5aeaafb0dae43a87557d59)
On aura
en différenciant
par rapport à
et supposant la différence de
égale à
d’où il est aisé de conclure que la fonction arbitraire
existe dans
sous une forme linéaire ; mais elle peut y être affectée des signes différentiel et intégral, en sorte que
peut renfermer des termes de cette forme
et si l’on représente par
des fonctions quelconques de
et de
peut renfermer encore des termes de la forme
![{\displaystyle \mathrm {H} \int \mathrm {L} d\mu \int \mathrm {L} 'd\mu '\int \mathrm {L} ''d\mu ''\ldots {\frac {d^{n}\Gamma (\theta )}{d\theta ^{n}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c807964f59952264d1e7351fe773c8b86c7c1e8)