pend de celle de
et ainsi de suite à l’infini, d’où il semble impossible d’avoir la valeur de
voici comment on peut résoudre ce cas singulier qui peut se présenter dans d’autres circonstances.
Supposons que la suite
se termine après le terme
ou, ce qui revient au même, supposons
nous aurons les équations
![{\displaystyle (f)\left\{{\begin{aligned}0=&\ \ 8\mathrm {A} ^{(3)}-\ \ 5\mathrm {A} ^{(2)}+\mu \mathrm {A} ^{(1)},\\0=&20\mathrm {A} ^{(4)}-14\mathrm {A} ^{(3)}+\mu \mathrm {A} ^{(2)},\\0=&36\mathrm {A} ^{(5)}-27\mathrm {A} ^{(4)}+\mu \mathrm {A} ^{(3)},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\0=&\mathrm {A} ^{(r+1)}\left[2(r-1)^{2}+6(r-1)\right]\\&\qquad \qquad \qquad \qquad -\mathrm {A} ^{(r)}\left[2(r-1)^{2}+3(r-1)\right]+\mu \mathrm {A} ^{(r-1)},\\0=&-\mathrm {A} ^{(r+1)}\left(2r^{2}+3r\right)+\mu \mathrm {A} ^{(r)},\\0=&\mu \mathrm {A} ^{(r+1)}\,;\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38b30b0295d908c6be13cf3f15498e0590253baf)
en faisant abstraction de la dernière de ces équations, on aura un nombre
d’équations au moyen desquelles on pourra déterminer les
quantités
et si l’on suppose
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mu ^{(r)}\quad =&2r^{2}+3r,\\\mu ^{(r-1)}=&2(r-1)^{2}+3(r-1)-2\mu {\frac {(r-1)^{2}+3(r-1)}{\mu ^{(r)}}},\\\mu ^{(r-2)}=&2(r-2)^{2}+3(r-2)-2\mu {\frac {(r-2)^{2}+3(r-2)}{\mu ^{(r-1)}}},\\\mu ^{(r-3)}=&2(r-3)^{2}+3(r-3)-2\mu {\frac {(r-3)^{2}+3(r-3)}{\mu ^{(r-2)}}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76f27dc8545dc4604ce5a6f86d399b329618f01b)
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} ^{(r+1)}=&{\frac {\mu }{\mu ^{(r)}}}\mathrm {A} ^{(r)},\\\mathrm {A} ^{(r)}\quad =&{\frac {\mu }{\mu ^{(r-1)}}}\mathrm {A} ^{(r-1)},\\\mathrm {A} ^{(r-1)}=&{\frac {\mu }{\mu ^{(r-2)}}}\mathrm {A} ^{(r-2)},\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\mathrm {A} ^{(2)}\quad =&{\frac {\mu }{\mu ^{(1)}}}\mathrm {A} ^{(1)}={\frac {\mu {\text{ϐ}}}{2\mu ^{(1)}}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34a6757d4ac9bc95054f4d5f06a093712e10ee78)