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ϐ et $\mathrm {T} ,$ elles deviendront fonctions de $x$ et de $u\,;$ soient ϐ’ et $\mathrm {T}$ ces fonctions, on aura

$0=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)'+{\text{ϐ}}'z+\mathrm {T} ',$

équation dont l’intégrale est, comme l’on sait, en regardant $u$ comme constant,

$z=e^{-\int {\text{ϐ}}'dx}\left(\mathrm {C} -\int \mathrm {T} 'dxe^{\int {\text{ϐ}}dx}\right),$

le signe $\int$ se rapportant à la variabilité de $x$ seul ; or, la constante $\mathrm {C}$ pouvant être fonction quelconque de $\theta ,$ on aura, pour l’intégrale de l’équation linéaire aux différences partielles

$0={\frac {\partial z}{\partial x}}+\alpha {\frac {\partial z}{\partial y}}+{\text{ϐ}}z+\mathrm {T} ,$

$z=e^{-\int {\text{ϐ}}'dx}\varphi (\theta )-e^{-\int {\text{ϐ}}dx}\int \mathrm {T} 'dxe^{\int {\text{ϐ}}'dx}\,;$

d’où il suit que la forme de cette intégrale est

$z=\mathrm {H+A} \varphi (\theta ),$

$\mathrm {A,H}$ et $\theta$ étant des fonctions déterminées de $x$ et de $y.$

IV.

On aurait pu trouver cette forme a priori, de la manière suivante.

Pour cela, j’observe que l’intégrale d’une équation aux différences partielles du premier ordre ne renferme qu’une fonction arbitraire que je représente par $\varphi (\theta )\,;$ or il peut arriver que la quantité $\theta ,$ dont la fonction arbitraire est composée, soit une fonction déterminée de $x$ et de $y,$ ou qu’elle soit indéterminée ; examinons séparément ces deux cas.

Premier cas. – Lorsque $\theta$ est fonction déterminée de $x$ et de $y.$

L’intégrale peut alors être mise sous cette forme $z=\mathrm {M,\ M}$ étant fonction de $x,y$ et de $\varphi (\theta )$ ; or, $\varphi (\theta )$ étant une fonction arbitraire, je puis la supposer égale à une fonction quelconque déterminée de $\theta ,$