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$\lambda ,\lambda ^{(1)},\lambda ^{(2)},\ldots ,{\text{ʎ}},{\text{ʎ}}^{(1)},{\text{ʎ}}^{(2)},\ldots$ étant des coefficients faciles à déterminer par l’article cité ; $\lambda ^{(r)}$ étant égal à ${\frac {4\pi \Delta }{4r+5}}f^{(r)},$ et ${\text{ʎ}}^{(r)}$ égal à ${\frac {8\pi \Delta }{4r+5}}p^{(r)}.\ \mathrm {G}$ est une constante arbitraire qui peut être fonction quelconque de $\theta \,;$ or il est clair que cette fonction n’est autre chose que la valeur de $\mathrm {D} \Delta ,$ lorsqu’on suppose

$y=h+h^{(1)}\cos \theta +\ldots +h^{(s)}\cos ^{s}\theta \,;$

et comme on a

$\mathrm {D} \Delta =2\alpha \Delta \int _{0}^{\pi }\int _{0}^{\pi }y'\sin pdpdq,$

on aura, par l’article IX, pour $\mathrm {G}$ une expression de cette forme

$\mathrm {G} =\sigma +\sigma ^{(1)}\cos \theta +\sigma ^{(2)}\cos ^{2}\theta +\ldots +\sigma ^{(s)}\cos ^{s}\theta ,$

$\sigma ,\sigma ^{(1)},\ldots$ étant faciles à déterminer, et $\sigma ^{(s)}$ étant égal à ${\frac {4\pi \Delta }{2s+1}}h^{(s)}\,;$ partant,

${\begin{aligned}\mathrm {D} \Delta =\sigma &+\sigma ^{(1)}\cos \theta +\sigma ^{(2)}\cos ^{2}\theta +\ldots +\sigma ^{(s)}\cos ^{s}\theta \\&+\quad \left[a\sin(\ \ \varphi -\ \ \varpi )+b\ \cos(\ \ \varphi -\ \ \varpi )\right]\sin \theta \cos \theta \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \times \left(\lambda +\lambda ^{(1)}\sin ^{2}\theta +\ldots +\lambda ^{(r)}\sin ^{2r}\theta \right)\\&+{\frac {1}{2}}\left[a'\sin(2\varphi -2\varpi )+b'\cos(2\varphi -2\varpi )\right]\sin ^{2}\theta \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \times \left({\text{ʎ}}+{\text{ʎ}}^{(1)}\sin ^{2}\theta +\ldots +{\text{ʎ}}^{(r)}\sin ^{2r}\theta \right);\end{aligned}}$

Dans le cas présent,

$s=2,\quad h^{(2)}=6x,\quad h^{(1)}=0,\quad r=0,\quad f=2,\quad p=1\,;$

d’où il est aisé de conclure

$\sigma ^{(2)}={\frac {24}{5}}\pi x\Delta ,\qquad \sigma ^{(1)}=0,\qquad \lambda ={\frac {8}{5}}\pi \Delta ,\qquad {\text{ʎ}}={\frac {8}{5}}\pi \Delta \,;$

partant,

${\begin{aligned}\mathrm {D} \Delta =&{\frac {8}{5}}\pi \Delta x\left(3\cos ^{2}\theta -1\right)+{\frac {8}{5}}\pi \Delta x'\sin \theta \cos \theta +{\frac {4}{5}}\pi \Delta x''\sin ^{2}\theta +\sigma +{\frac {8}{5}}\pi \Delta x\\=&{\frac {4}{5}}\pi \Delta y+\sigma +{\frac {8}{5}}\pi \Delta x\,;\end{aligned}}$

l’équation (S) se changera ainsi dans la suivante

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=l\left(g-{\frac {4}{5}}\pi \Delta \right)\left({\frac {\partial ^{2}y}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {\partial y}{\partial \theta }}{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial \varpi ^{2}}}\right)$

$-l{\frac {\partial ^{2}\mathrm {R} }{\partial \theta ^{2}}}-l{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial \theta }}{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}-{\frac {l}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {R} }{\partial \varpi ^{2}}},$