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l’équation (S) deviendra donc, en y supposant d’abord $\Delta =0,$

(S’)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=&lg{\frac {\partial ^{2}y}{\partial \theta ^{2}}}+lg{\frac {\partial y}{\partial \theta }}{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}+{\frac {lg}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial \varpi ^{2}}}\\&+l\mathrm {K} (1+3\cos 2\theta )\left(\cos ^{2}\nu -{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\nu \right)\\&+6l\mathrm {K} \sin 2\theta \sin \nu \cos \nu \cos(\varphi -nt-\varpi )\\&+3l\mathrm {K} \sin ^{2}\theta \sin ^{2}\nu \cos(2\varphi -2nt-2\varpi ).\end{aligned}}\right.$

Il est assez naturel de penser que la forme

$x(1+3\cos 2\theta )+x'\sin 2\theta +x''\sin ^{2}\theta$

peut satisfaire pour $y$ à cette équation, $x$ étant fonction de $t$ seul, et $x'$ et $x''$ étant fonctions de $t$ et de $\varpi .$ En effet, si l’on suppose

${\frac {\partial ^{2}x'}{\partial \varpi ^{2}}}=-x'\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {\partial ^{2}x''}{\partial \varpi ^{2}}}=-4x'',$

on parviendra facilement aux trois équations suivantes :

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+6lgx=l\mathrm {K} \left(\cos ^{2}\nu -{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\nu \right),$

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}\ +6lgx'\ =&6l\mathrm {K} \sin \nu \cos \nu \cos(\varphi -nt-\varpi ),\\{\frac {d^{2}x''}{dt^{2}}}+6lgx''=&3l\mathrm {K} \sin ^{2}\nu \cos(2\varphi -2nt-2\varpi ).\end{aligned}}$

Ces trois équations sont faciles à intégrer par les méthodes connues, et l’on déterminera les constantes arbitraires de leurs intégrales par ces conditions que ${\frac {dx}{dt}},x',{\frac {dx'}{dt}},x'',{\frac {dx''}{dt}}$ doivent être zéro lorsque $t=0.$ Il résulte de ces mêmes conditions que les suppositions de ${\frac {\partial ^{2}x'}{\partial \varpi ^{2}}}=-x'$ et de ${\frac {\partial ^{2}x''}{\partial \varpi ^{2}}}=-4x''$ sont légitimes, car, en différenciant l’équation en $x'$ deux fois de suite par rapport à $\varpi ,$ et faisant ${\frac {\partial ^{2}x'}{\partial \varpi ^{2}}}=-s',$ on aura

${\frac {d^{2}s'}{dt^{2}}}+6lgs'=6l\mathrm {K} \sin \nu \cos \nu \cos(\varphi -nt-\varpi ).$

Or cette équation est la même que l’équation en $x'\,;$ de plus, les deux