III.
L’équation générale linéaire du premier ordre est
![{\displaystyle 0={\frac {\partial z}{\partial x}}+\alpha {\frac {\partial z}{\partial y}}+{\text{ϐ}}z+\mathrm {T} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd0b98a8d89a8d7b2d98027383a0f1d282b1bbfd)
et
étant fonctions quelconques de
et de
M. d’Alembert en a donné, le premier, l’intégrale dans le Tome IV de ses Opuscules. Je vais intégrer la suivante qui la renferme
(1)
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étant fonction de
et ![{\displaystyle z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd7f273b229260c8fe9aa42378b0471336394cc2)
J’observerai ici que je regarde une équation aux différences partielles comme intégrée lorsqu’elle est ramenée à l’intégration d’une équation aux différences ordinaires. Cela posé,
Je considère d’abord
comme fonction de
et de
et ensuite comme fonction de
et d’une nouvelle variable
ce qui donne, en différenciant,
![{\displaystyle {\begin{aligned}dz=&\ \ {\frac {\partial z}{\partial x}}\ \ dx+{\frac {\partial z}{\partial y}}dy,\\dz=&\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)'dx+{\frac {\partial z}{\partial u}}du,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1439f86e1250abd60535b617e595a958452d4a88)
désignant le coefficient de
dans la différentiation de
lorsque
est considéré comme fonction de
et de
et
désignant ce même coefficient lorsque
est regardé comme fonction de
et de ![{\displaystyle u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd5636410da69bac33da075162221527401793c)
Si l’on considère présentement
comme fonction de
et de
on aura
![{\displaystyle du={\frac {\partial u}{\partial x}}dx+{\frac {\partial u}{\partial y}}dy\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e802fecf309710434fb19fc8a474e28c79366b5d)
donc
![{\displaystyle dz=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)'dx+{\frac {\partial z}{\partial u}}{\frac {\partial u}{\partial x}}dx+{\frac {\partial z}{\partial u}}{\frac {\partial u}{\partial y}}dy\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae7aa46f4b49034e450bc2085b4a4ebc2e2bb162)
partant,
![{\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)'+{\frac {\partial z}{\partial u}}{\frac {\partial u}{\partial x}}\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab52e50d7ec9025413c46c2b96178211ede5bf46)
et
![{\displaystyle \qquad {\frac {\partial z}{\partial y}}={\frac {\partial z}{\partial u}}{\frac {\partial u}{\partial y}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73266d00bddda5c7550346e1ad73376d5058fe80)