XIX.
Il est aisé de voir, par les articles XV et XVI, que l’on aura généralement, quelle que soit la loi de la profondeur de la mer,
![{\displaystyle y=\mathrm {H+M} \sin \nu \cos \nu \sin \theta \cos \theta \cos(it+\varpi )+\mathrm {N} \sin ^{2}w\sin ^{2}\theta \cos(2it+2\varpi ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccf8583b8b94ba3f6c708b0398625f1eac4c7a60)
et
étant fonctions de
pour avoir la plus grande élévation et le plus grand abaissement des eaux, il faut faire
ce qui donne
![{\displaystyle 0=\mathrm {M} \cos \nu \cos \theta \sin(it+\varpi )+2\mathrm {N} \sin \nu \sin \theta \sin(2it+2\varpi )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b710b5c11739e4b37c0b4af8ad9c446dc178208)
or on a
![{\displaystyle \sin(2it+2\varpi )=2\sin(it+\varpi )\cos(it+\varpi )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7660fc9884a599cb800e221a9342cb2bbcd3578f)
l’équation précédente se partage ainsi dans les deux suivantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&\sin(it+\varpi ),\\0=&\mathrm {M} \cos \nu \cos \theta +4\mathrm {N} \sin \nu \sin \theta \cos(it+\varpi )\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff65bb7613189b6ecb687dda143e7908b0b7d5fb)
la première de ces équations se rapporte à la plus grande élévation, qui a lieu, par conséquent, lorsque
est égal à zéro ou à
c’est à-dire lorsque l’astre passe au méridien ; la seconde équation est relative aux plus grands abaissements et donne
![{\displaystyle \cos(it+\varpi )=-{\frac {\mathrm {M} \cos \nu \cos \theta }{4\mathrm {N} \sin \nu \sin \theta }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31188c60a172319b97348a7ad0c9cd092708fd9c)
Il suit de là que la valeur de
dans la marée de dessus, est
![{\displaystyle y=\mathrm {H+M} \sin \nu \cos \nu \sin \theta \cos \theta +\mathrm {N} \sin ^{2}\nu \sin ^{2}\theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ee60718bb425ac49eb1b3a3dc5f337aaa949cfb)
et que cette valeu,
dans le plus grand abaissement des eaux, est
![{\displaystyle y=\mathrm {H-{\frac {M^{2}}{8N}}} \cos ^{2}\nu \cos ^{2}\theta -\mathrm {N} \sin ^{2}\nu \sin ^{2}\theta \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4f33e25dcfc804525a7489f3bb0eee8d45ddda6)
la différence de ces deux valeurs est la différence de la haute à la basse mer, que l’observation donne immédiatement ; on aura donc pour cette