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Si l’on compare maintenant les coefficients de $\cos(2it+2\varpi )$ dans l’équation (21), on aura d’abord

(29)

$0={\frac {2n-2i}{i}}{\text{ϐ}}+{\frac {gp_{1}}{i^{2}}}-{\frac {\mathrm {K} \sin ^{2}\nu }{2i^{2}}},$

et cette équation répond à l’équation (25) de l’article précédent ; on aura ensuite

$p=\mathrm {D} _{1},\qquad p^{(1)}=\mathrm {D} _{1}^{(1)},\qquad p^{(2)}=\mathrm {D} _{1}^{(2)},\qquad \ldots ,\qquad p^{(r)}=\mathrm {D} _{1}^{(r)},$

$\mathrm {D_{1},D_{1}^{(1)},D_{1}^{(2)}} ,\ldots ,\mathrm {D} _{1}^{(r)}$ étant pareilles fonctions de $p_{1},p_{1}^{(1)},p_{1}^{(2)},\ldots ,p_{1}^{(r)},$ que $\mathrm {D,D^{(1)},D^{(2)}} ,\ldots ,\mathrm {D} ^{(r)}$ le sont de $p,p^{(1)},p^{(2)},\ldots ,p^{(r)}\,;$ on aura donc

$\mathrm {D} _{1}^{(r)}=q{\text{ϐ}}^{(r-1)}{\frac {2ri-2n+3i}{i}}+{\frac {gp}{i^{2}}}p_{1}^{(r)}\,;$

donc

$p_{1}^{(r)}=q{\text{ϐ}}^{(r-1)}{\frac {2ri+3i-2n}{i}}+{\frac {gp}{i^{2}}}p_{1}^{(r)}\,;$

or on a

$p_{1}^{(r)}=p^{(r)}-{\frac {{\text{ʎ}}^{(r)}}{2g}}$

et, par l’article IX,

${\text{ʎ}}^{(r)}={\frac {8\Delta \pi p^{(r)}}{4r+5}}\,;$

donc

$p_{1}^{(r)}=p^{(r)}\left[1-{\frac {4\Delta \pi }{(4r+5)g}}\right]\,;$

partant,

(30)

$\left[i^{2}-qg\left(1-{\frac {4\Delta \pi }{(4r+5)g}}\right)\right]p^{(r)}=q{\text{ϐ}}^{(r-1)}{\frac {2ri^{2}-2ni+3i^{2}}{i}}\,;$

cette équation répond à l’équation (26).

Si l’on compare ensuite les coefficients de $\cos(2it+2\varpi )$ dans l’équation (22), on aura d’abord l’équation (29) ; ensuite on aura

${\begin{aligned}\left(4n^{2}-i^{2}\right){\text{ϐ}}^{(1)}-4n^{2}{\text{ϐ}}\qquad &=\mathrm {E} _{1}^{(1)},\\\left(4n^{2}-i^{2}\right){\text{ϐ}}^{(2)}-4n^{2}{\text{ϐ}}^{(1)}\quad &=\mathrm {E} _{1}^{(2)},\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots ,\\-4n^{2}{\text{ϐ}}^{(r-1)}&=\mathrm {E} _{1}^{(r)},\end{aligned}}$