est fonction de
seul ; or nous avons vu, article IX, que cette partie est égale à
donc
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {G} }{\partial \theta }}=-{\frac {12}{5}}\Delta \varepsilon \sin 2\theta \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/103c3564065c416c8e1b02aec6beff574cb9a22c)
partant,
![{\displaystyle \mathrm {G} ={\frac {6}{5}}\pi \Delta \varepsilon \cos 2\theta +\mathrm {F} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d770eb4d40538deb36be164c4f206ead6cf9a194)
étant une constante quelconque à laquelle nous sommes libres de donner ici telle valeur que nous voudrons. Nous la supposerons, pour plus de simplicité, égale à
ce qui donne
![{\displaystyle \mathrm {G} ={\frac {4}{5}}\pi \Delta \varepsilon \left(3\cos ^{2}\theta -1\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08045e1482889164b3dc4a3495f66f187c5ddf26)
Faisons maintenant
![{\displaystyle \varepsilon \left(1-{\frac {4\Delta \pi }{5g}}\right)=\varepsilon _{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f85f95bfda9da9910daed4b9a6f2d9d6d4cb54bb)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}f\quad -\ \ {\frac {\lambda }{g}}\ \ =&f_{1},&p\quad -\ \ {\frac {\text{ʎ}}{g}}\ \ =&p_{1},\\f^{(1)}-{\frac {\lambda ^{(1)}}{g}}=&f_{1}^{(1)},\qquad &p^{(1)}-{\frac {{\text{ʎ}}^{(1)}}{g}}=&p_{1}^{(1)},\\f^{(2)}-{\frac {\lambda ^{(2)}}{g}}=&f_{1}^{(2)},&\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ,\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ,&\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ,\\f^{(r)}-{\frac {\lambda ^{(r)}}{g}}=&f_{1}^{(r)},&p^{(r)}-{\frac {{\text{ʎ}}^{(r)}}{g}}=&p_{1}^{(r)},\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/341bbf881962b448e4d548a2811e48400f4d7e55)
et nous aurons
![{\displaystyle {\begin{aligned}&y'=\varepsilon _{1}\left(3\cos ^{2}\theta -1\right)\\&+\sin \theta \cos \theta \cos(it+\varpi )\left(f_{1}+f_{1}^{(1)}\sin ^{2}\theta +f_{1}^{(2)}\sin ^{4}\theta +\ldots +f_{1}^{(r)}\sin ^{2r}\theta \right)\\&+\sin ^{2}\theta \cos(2it+2\varpi )\left(p_{1}+p_{1}^{(1)}\sin ^{2}\theta +p_{1}^{(2)}\sin ^{4}\theta +\ldots +p_{1}^{(r)}\sin ^{2r}\theta \right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a15e32e290a842e4b9ed9f66858c2b67d5b4a5df)
Supposons ensuite, comme précédemment,
![{\displaystyle {\begin{aligned}u&=a^{(1)}\\&+\cos(it+\varpi )\left(e+e^{(1)}\sin ^{2}\theta +e^{(2)}\sin ^{4}\theta +\ldots +e^{(r)}\sin ^{2r}\theta \right)\\&+\sin \theta \cos \theta \cos(2it+2\varpi )\left({\text{ϐ}}+{\text{ϐ}}^{(1)}\sin ^{2}\theta +\ldots +{\text{ϐ}}^{(r-1)}\sin ^{2r-2}\theta \right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/413f46f84c2814ae922faae4f5a135d02de97c11)
Si l’on substitue ces valeurs dans les équations (21) et (22), et que l’on y fasse
on aura d’abord, en comparant les termes