XVI.
Considérons le cas dans lequel le fluide à une densité quelconque
et supposons qu’alors l’expression de
ait la forme suivante
![{\displaystyle {\begin{aligned}&y=\varepsilon \left(3\cos ^{2}\theta -1\right)\\&+\sin \theta \cos \theta \cos(it+\varpi )\left(f+f^{(1)}\sin ^{2}\theta +f^{(2)}\sin ^{4}\theta +\ldots +f^{(r)}\sin ^{2r}\theta \right)\\&+\sin ^{2}\theta \cos(2it+2\varpi )\left(p+p^{(1)}\sin ^{2}\theta +p^{(2)}\sin ^{4}\theta +\ldots +p^{(r)}\sin ^{2r}\theta \right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/943b6bb822e89d56260afb13171076862287f826)
étant des coefficients constants qu’il s’agit de déterminer ; il est facile de s’assurer que cette valeur de
satisfait à l’équation
![{\displaystyle \int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }y\sin \theta d\theta d\varpi =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc28f8a701eb6ad1f1e5bfbb95c931186b3415a0)
voyons ensuite si elle peut satisfaire aux équations (21) et (22) de l’article précédent ; on a, par cet article,
![{\displaystyle y'=y-{\frac {\Delta }{g}}\int \mathrm {C} d\varpi \sin \theta \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de62942a10021b4e8e302e22058c41070892973d)
de plus, on a, par l’article IX,
![{\displaystyle \mathrm {C} \Delta =-\sin(\ \ it+\ \ \varpi )\cos \theta \left(\lambda +\lambda ^{(1)}\sin ^{2}\theta +\ldots +\lambda ^{(r)}\sin ^{2r}\theta \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f93c3a60b8b7524d73e7453b1bc4ffdcc24812ce)
![{\displaystyle -\sin(2it+2\varpi )\sin \theta \left(\right.{\text{ʎ}}+{\text{ʎ}}^{(1)}\sin ^{2}\theta +\ldots +{\text{ʎ}}^{(r)}\sin ^{2r}\theta \left.\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f5944186d437170e8d5907a3e7eb19fcc822b92)
étant des fonctions de ![{\displaystyle f,f^{(1)},f^{(2)},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c38c6cefdfce841a3028d3fb524257fd2628750)
que l’on déterminera par le même article ; on aura donc
![{\displaystyle \int \mathrm {C} \Delta dp\sin \theta =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6bdac6adcaa7a674a8a9a30c6adeefefb5a43c1)
![{\displaystyle \mathrm {G} +\sin \theta \cos \theta \cos(it+\varpi )\left(\lambda +\lambda ^{(1)}\sin ^{2}\theta +\ldots +\lambda ^{(r)}\sin ^{2r}\theta \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/090df6635e86064907114eb5c3373eae0fef6fd6)
![{\displaystyle +{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\theta \cos(2it+2\varpi )\left(\right.{\text{ʎ}}+{\text{ʎ}}^{(1)}\sin ^{2}\theta +\ldots +{\text{ʎ}}^{(r)}\left.\sin ^{2r}\theta \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dfd7f479bce66e364d9d88cb96b10989081e94a)
étant une constante arbitraire qui peut être fonction de
pour la déterminer, on observera que nous avons supposé dans l’article précédent,
![{\displaystyle \mathrm {B} \Delta =\Delta \int {\frac {\partial .\mathrm {C} \sin \theta }{\partial \theta }}d\varpi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd00f1a2302772699097901e965ca13f9236a8a5)
d’où il suit que
doit être égal à la partie de l’expression de
qui