La valeur de
que nous venons de trouver, étant la même que celle que nous avons trouvée ci-dessus, lorsqu’il s’agissait de satisfaire à la troisième et à la quatrième des équations (L), il en résulte que les valeurs précédentes de
et
ont été bien choisies ; si l’on reprend maintenant la valeur précédente de
et que l’on considère que l’on a
![{\displaystyle \int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }y\sin \theta d\theta d\varpi =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bc9f351b4073d8d7510bfbf7a4bc61b69cc6cd4)
on trouvera facilement que la constante arbitraire
de l’expression de
est égale à
partant, on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}y=&{\frac {\mathrm {K} }{6g}}\left(\cos ^{2}\nu -{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\nu \right)(1+3\cos 2\theta )\\&+\sin \theta \cos \theta \cos(it+\varpi )\left(f+f^{(1)}\sin ^{2}\theta +\ldots +f^{(r)}\sin ^{2r}\theta \right)\\&+\sin ^{2}\theta \cos(2it+2\varpi )\left(p+p^{(1)}\sin ^{2}\theta +\ldots +p^{(r)}\sin ^{2r}\theta \right)\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73680c1f40cc1d0f84933673deb86d1cd319ebde)
on aura ensuite la vitesse horizontale
fluide dans le sens du méridien, en considérant que
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {du}{dt}}&=i{\frac {\partial u}{\partial \varpi }}=-i\sin(it+\varpi )\left(e^{(1)}\sin ^{2}\theta +e^{(2)}\sin ^{4}\theta +\ldots +e^{(r)}\sin ^{2r}\theta \right)\\&-2i\sin(2it+2\varpi \sin \theta \cos \theta )\left({\text{ϐ}}+{\text{ϐ}}^{(1)}\sin ^{2}\theta +\ldots +{\text{ϐ}}^{(r-1)}\sin ^{2r-2}\theta \right)\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a79d212f10c87e91329fdc8f1466e9ecd5928820)
enfin l’équation (/) donnera la vitesse du fluide dans le sens du parallèle, en observant que cette vitesse est égale à ![{\displaystyle \alpha {\frac {dv}{dt}}\sin \theta =\alpha i-{\frac {\partial v}{\partial \varpi }}\sin \theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b06177cbc54399fffd87d6d61be45b7c55f5be8)
Si l’on applique maintenant à la valeur précédente de
la méthode de l’article XIV, on s’assurera facilement qu’elle doit être admise en entier, ainsi que les valeurs correspondantes que nous avons trouvées pour
et
et que ces valeurs sont les seules que l’on doive admettre dans la question présente ; comme ce calcul ne présente aucune difficulté d’après ce que nous avons dit article XIV, nous ne nous y arrêterons pas.