on aura d’abord, en comparant les coefficients de
l’équation suivante
(23)
|
|
|
en divisant ensuite tous les autres termes de l’équation par
on aura une équation de cette forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}f&+f^{(1)}\sin ^{2}\theta +f^{(2)}\sin ^{4}\theta +\ldots +f^{(r)}\sin ^{2r}\theta \\&=\mathrm {A} +\mathrm {A} ^{(1)}\sin ^{2}\theta +\mathrm {A} ^{(2)}\sin ^{4}\theta +\ldots +\mathrm {A} ^{(r)}\sin ^{2r}\theta ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1488c68dbad8314dca548fcb93d6f9c39f882af4)
étant des fonctions de
très faciles à déterminer, et l’on aura
![{\displaystyle \mathrm {A} ^{(r)}={\frac {qgf^{(r)}}{i^{2}}}-\left(2r+{\frac {3i-2n}{i}}\right)qe^{(r)}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dfe650928ec708c3eab40d2c89057216191a75c)
en comparant séparément les coefficients des différentes puissances de
on aura les
équations suivantes
![{\displaystyle \mathrm {A} =f,\qquad \mathrm {A} ^{(1)}=f^{(1)},\qquad \mathrm {A} ^{(2)}=f^{(2)},\qquad \ldots ,\qquad \mathrm {A} ^{(r)}=f^{(r)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c7597a7445684a534b8b0d2bf6ccd373bbe560a)
et cette dernière équation donne, en y substituant au lieu de
sa valeur,
(24)
|
|
|
Si l’on substitue pareillement les valeurs précédentes de
et de
dans la quatrième des équations (L), on aura une équation de cette forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left(4n^{2}-i^{2}\right)e&+\left[\left(4n^{2}-i^{2}\right)e^{(1)}-4n^{2}e\right]\sin ^{2}\theta \\&+\left[\left(4n^{2}-i^{2}\right)e^{(2)}-4n^{2}e^{(1)}\right]\sin ^{4}\theta +\ldots \\&+\left[\left(4n^{2}-i^{2}\right)e^{(r)}-4n^{2}e^{(r-1)}\right]\sin ^{2r}\theta -4n^{2}e^{(r)}\sin ^{2r+2}\theta \\=&\mathrm {\sideset {^{1}}{}B} +\mathrm {B} ^{(1)}\sin ^{2}\theta +\mathrm {B} ^{(2)}\sin ^{4}\theta +\ldots +\mathrm {B} ^{(r+1)}\sin ^{2r+2}\theta ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/416f9093a6982c801f7b4c62bdf458383f97b160)
étant des coefficients faciles à déterminer, et l’on trouvera
![{\displaystyle \mathrm {\sideset {^{1}}{}B} =-{\frac {2n+i}{i}}gf+{\frac {2n+i}{i}}2\mathrm {K} \sin \nu \cos \nu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b51b42f42dde9dce5872fe1bb9f81946f9efc54)