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mouvement, lorsque le fluide n’est pas encore parvenu à son étal de permanence.

La supposition d’une légère résistance, proportionnelle à la vitesse, introduit dans le second membre de l’équation (12) le terme $-\rho {\frac {du}{dt}},$ et dans le second membre de l’équation (13) le terme $-\rho {\frac {du}{dt}}\sin ^{2}\theta ,\ \rho$ étant une très petite quantité constante, dépendante de l’intensité de la résistance ; or, en suivant le calcul des articles VII, VIII et IX, il est aisé de voir qu’il ne résulte de changement, par l’introduction de ces nouveaux termes, qu’en ce que les équations (19) et (20) prennent la forme suivante

${\begin{aligned}0&={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\rho {\frac {dx}{dt}}+a^{2}x-\mathrm {K} \left[{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\nu -\cos ^{2}\nu +{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\nu \cos(2mt-2\varpi )\right],\\0&={\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\rho {\frac {dz}{dt}}+a^{2}z-2\mathrm {K} \sin \nu \cos \nu \cos(mt-\varpi ),\end{aligned}}$

$a^{2}$ étant, comme précédemment, égal à $6lg-{\frac {24}{5}}\pi \Delta l.$ Si l’on intègre ces deux équations, et qu’en suite on néglige dans les intégrales les quantités périodiques multipliées par $\rho ,$ à cause de la petitesse de cette quantité, on aura

${\begin{aligned}x&=e^{-{\frac {1}{2}}\rho t}\left(\mathrm {H} \sin t{\sqrt {a^{2}-{\frac {1}{4}}\rho ^{2}}}+\mathrm {L} \cos t{\sqrt {a^{2}-{\frac {1}{4}}\rho ^{2}}}\right)\\&+{\frac {\mathrm {K} }{a^{2}}}\left({\frac {1}{2}}\sin ^{2}\nu -\cos ^{2}\nu \right)+{\frac {\mathrm {K} \sin ^{2}\nu }{2a^{2}-8m^{2}}}\cos(2mt-2\varpi ),\\z&=e^{-{\frac {1}{2}}\rho t}\left(\mathrm {M} \sin t{\sqrt {a^{2}-{\frac {1}{4}}\rho ^{2}}}+\mathrm {N} \cos t{\sqrt {a^{2}-{\frac {1}{4}}\rho ^{2}}}\right)\\&+{\frac {2\mathrm {K} \sin \nu \cos \nu }{a^{2}-m^{2}}}\cos(mt-\varpi ),\end{aligned}}$

$e$ étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité, et $\mathrm {H,L,M}$ et $\mathrm {N}$ étant des constantes arbitraires qui dépendent des valeurs de $x,{\frac {dx}{dt}},z$ et ${\frac {dz}{dt}}$ à l’origine du mouvement ; or, quelles que soient ces valeurs, il est clair qu’après un temps considérable $e^{-{\frac {1}{2}}\rho t}$ devient extrê-