les valeurs de
et de
qui peuvent satisfaire à ces équations ; en considérant l’équation (12), il est assez naturel de croire que l’expression de
peut avoir la forme suivante
![{\displaystyle u=x\sin 2\theta +z\cos 2\theta \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a0f3ebba3ab6a1d97e98eca0508acade7d3c2cd)
et
étant fonctions de
et de
sans
voyons conséquemment si cette supposition peut se soutenir et quelles sont les valeurs de
et de
qui en résultent.
En substituant la valeur précédente de
dans l’équation (14), on aura
![{\displaystyle {\frac {\partial .v\sin ^{2}\theta }{\partial \theta }}=\sin 2\theta {\frac {\partial x}{\partial \varpi }}+\cos 2\theta {\frac {\partial z}{\partial \varpi }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b61ff07397565e95794bef97a286edfe15a6641)
d’où l’on tire, en intégrant par rapport à ![{\displaystyle \theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a45ee89f965ec5498b347cb54f45243ef88b218)
![{\displaystyle v\sin ^{2}\theta =-{\frac {1}{2}}\cos 2\theta {\frac {\partial x}{\partial \varpi }}+{\frac {1}{2}}\sin 2\theta {\frac {\partial z}{\partial \varpi }}+\mathrm {H} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86e28e6a27923e4ce8aad024d5dbbb1b5bac5502)
étant une constante qui sera fonction de
et de
sans
donc
![{\displaystyle v={\frac {\sin 2\theta }{2\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial z}{\partial \varpi }}-{\frac {\cos 2\theta }{2\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial x}{\partial \varpi }}+{\frac {\mathrm {H} }{\sin ^{2}\theta }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c1227a7189be8d0606989ed2bfba41371d0f34c)
On peut mettre cette expression de
sous une forme un peu plus simple, en considérant que l’on a
![{\displaystyle \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta ,\qquad 1-\cos 2\theta =2\sin ^{2}\theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fed8cf02bf822202accb2d829a437ccb9e8f45c3)
et que l’on peut supposer
![{\displaystyle \mathrm {H} ={\frac {1}{2}}{\frac {\partial x}{\partial \varpi }}+\mathrm {H} ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b77bda375b463d22a8466a0b374e82e96e783dd)
ne renfermant point
on aura ainsi
![{\displaystyle v={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}{\frac {\partial z}{\partial \varpi }}+{\frac {\partial x}{\partial \varpi }}+{\frac {\mathrm {H} '}{\sin ^{2}\theta }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68a3cd2466adeb9531d290631c1e439438c25f8b)