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mais on a dans ce cas

$y_{x}=\mathrm {A} u_{x}+^{1}\!\mathrm {A} u_{x}+\ldots ,$

partant

$y_{x}=\lambda _{x}y_{x}+^{1}\!\lambda _{x}y_{x-1}+\ldots +^{n-1}\!\lambda _{x}y_{x-n+1}.$

Or cette équation doit être identique, car autrement, quoique de l’ordre $n-1,$ son intégrale renfermerait les $n$ constantes arbitraires que renferme l’expression complète de $y_{x}\,;$ on a donc pour l’intégrale complète de l’équation (B) du Problème II, quel que soit $\mathrm {X} _{x},$

${\begin{aligned}y_{x}=&u_{x}\left(\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {X} _{x+1}}{z_{x+1}}}\right)\\+&^{1}\!u_{x}\left(^{1}\!\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {X} _{x+1}}{^{1}\!z_{x+1}}}\right)\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&^{n-1}\!u_{x}\left(^{n-1}\!\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {X} _{x+1}}{^{n-1}\!z_{x+1}}}\right).\end{aligned}}$

De là résulte cette règle fort simple, pour avoir l’intégrale complète de l’équation

$y_{x}=\mathrm {H} _{x}y_{x-1}+^{1}\!\mathrm {H} _{x}y_{x-2}+\ldots +^{n-1}\!\mathrm {H} _{x}y_{x-n}+\mathrm {X} _{x},$

lorsqu’on sait intégrer celle-ci :

$y_{x}=\mathrm {H} _{x}y_{x-1}+^{1}\!\mathrm {H} _{x}y_{x-2}+\ldots +^{n-1}\!\mathrm {H} _{x}y_{x-n}.$

Soit

$y_{x}=\mathrm {A} u_{x}+^{1}\!\mathrm {A} \,^{1}\!u_{x}+^{2}\!\mathrm {A} \,^{1}\!u_{x}+\ldots +^{n-1}\!\mathrm {A} \,^{n-1}\!u_{x}$

l’intégrale de cette dernière, et que l’on fasse

${\begin{alignedat}{3}{\overset {1}{u}}_{x}=&u_{x}\Delta {\frac {^{1}\!u_{x-1}}{u_{x-1}}},\qquad &{\overset {2}{u}}_{x}=&{\overset {1}{u}}_{x}\Delta {\frac {^{1}\!{\overset {1}{u}}_{x-1}}{{\overset {1}{u}}_{x-1}}},\qquad &{\overset {3}{u}}_{x}=&{\overset {2}{u}}_{x}\Delta {\frac {^{1}\!{\overset {2}{u}}_{x-1}}{{\overset {2}{u}}_{x-1}}},\\^{1}\!{\overset {1}{u}}_{x}=&u_{x}\Delta {\frac {^{2}\!u_{x-1}}{u_{x-1}}},\qquad &^{1}\!{\overset {2}{u}}_{x}=&{\overset {1}{u}}_{x}\Delta {\frac {^{2}\!{\overset {1}{u}}_{x-1}}{{\overset {1}{u}}_{x-1}}},\qquad &\ldots &\ldots \ldots \ldots ,\\^{2}\!{\overset {1}{u}}_{x}=&u_{x}\Delta {\frac {^{3}\!u_{x-1}}{u_{x-1}}},\qquad &^{2}\!{\overset {2}{u}}_{x}=&{\overset {1}{u}}_{x}\Delta {\frac {^{3}\!{\overset {1}{u}}_{x-1}}{{\overset {1}{u}}_{x-1}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$

jusqu’à ce que l’on parvienne à former ${\overset {n-1}{u}}_{x},$ soit ${\overset {n-1}{u}}_{x}=^{n-1}\!z_{x}.$ Si, dans