aux deux équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}^{n-1}\!\mathrm {A} =&\gamma _{x}\gamma _{x}\quad +^{1}\!\gamma _{x}\gamma _{x-1}\quad +\ldots +^{n-1}\!\gamma _{x}\gamma _{x-n+1},\\^{n-1}\!\mathrm {A} =&\left(\gamma _{x}\right)\gamma _{x}+\left(^{1}\!\gamma _{x}\right)\gamma _{x-1}+\ldots +\left(^{n-1}\!\gamma _{x}\right)\gamma _{x-n+1},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/085334980b78e5aa0790f65add50803f87bfdb7f)
dans lesquelles la constante
est visiblement la même, puisque j’ai supposé, pour former l’une et l’autre équation, que la valeur complète de
est
![{\displaystyle y_{x}=\mathrm {A} u_{x}+^{1}\!\mathrm {A} \,^{1}\!u_{x}+\ldots +^{n-1}\!\mathrm {A} \,^{n-1}\!u_{x}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f30b240342c32e7f171d4c43f4e4090281592e57)
On aura donc, en comparant ces deux équations,
![{\displaystyle \gamma _{x}\gamma _{x}+^{1}\!\gamma _{x}\gamma _{x-1}+\ldots +^{n-1}\!\gamma _{x}\gamma _{x-n+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7df1b6236389216a03cda85ea5805f9872066417)
![{\displaystyle =\left(\gamma _{x}\right)\gamma _{x}+\left(^{1}\!\gamma _{x}\right)\gamma _{x-1}+\ldots +\left(^{n-1}\!\gamma _{x}\right)\gamma _{x-n+1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77f9cf35f471f5bb1a9124c401cd3b20619f6ccd)
équation qui doit être identique ; car, si elle ne l’était pas, cette équation étant différentielle de l’ordre
aurait cependant pour intégrale complète
![{\displaystyle y_{x}=\mathrm {A} u_{x}+\ldots +^{n-1}\!\mathrm {A} .^{n-1}\!u_{x},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3685008f9fe5f5c423d7d47b89b2bef47b12d6b2)
équation qui renferme
constantes arbitraires, ce qui serait absurde (Art. II).
On a donc
![{\displaystyle ^{n-1}\!\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {X} _{x+1}}{\left({\overset {n-1}{u}}_{x+1}\right)}}=^{n-1}\!\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {X} _{x+1}}{{\overset {n-1}{u}}_{x+1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/992560f8cf09e4f0bdde864538c4572e9c617c10)
partant
![{\displaystyle \left({\overset {n-1}{u}}_{x+1}\right)={\overset {n-1}{u}}_{x+1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bc81b2fdec01e40c166f277ea36cb1c42853b95)
Ainsi l’expression de
reste toujours la même, soit qu’on y change
en
et
en
on s’assurera de la même manière que si dans
on change
en
et
en
ou
en
et
en
et généralement
en
et
en
et
étant moindres que
l’expression
restera toujours la même, et qu’ainsi, quelque ordre que l’on donne aux quantités
pour former
cette expression restera toujours la même, pourvu que
soit considérée comme la dernière de ces quantités.
Je fais
ensuite, au lieu de considérer
comme