il faut donc ramener l’équation (O) à cette forme ; pour cela, je divise l’équation (O) par
et j’en conclus, en la différenciant,
![{\displaystyle \Delta {\frac {y_{x-1}}{u_{x-1}}}=\Delta {\frac {^{1}\!u_{x-1}}{u_{x-1}}}\left\{^{1}\!\mathrm {A} +\sum \Delta {\frac {^{1}\!{\overset {1}{u}}_{x}}{{\overset {1}{u}}_{x}}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5675fa7e67f333f91223a2f19d54d9b126c98408)
![{\displaystyle \times \left.\left[^{2}\!\mathrm {A} \ldots +\sum \Delta {\frac {^{1}\!{\overset {n-2}{u}}_{x+n-3}}{{\overset {n-2}{u}}_{x+n-3}}}\left(^{n-1}\!\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {X} _{x+n-1}}{{\overset {n-1}{u}}_{x+n-1}}}\right)\ldots \right]\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9811fcfa5327a90ca67dd822aa961b85c997b8a)
d’où l’on conclura, en divisant par
et différenciant.
![{\displaystyle \Delta {\frac {\Delta {\cfrac {y_{x-2}}{u_{x-2}}}}{\Delta {\cfrac {^{1}\!u_{x-2}}{u_{x-2}}}}}=\Delta {\frac {^{1}\!{\overset {1}{u}}_{x-1}}{{\overset {1}{u}}_{x-1}}}\left[^{2}\!\mathrm {A} +\ldots \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfa8a43f6c62656495b5020101f828e6485219a3)
On aura donc, en continuant de différentier ainsi, une équation de cette forme
![{\displaystyle ^{n-1}\!\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {X} _{x-1}}{{\overset {n-1}{u}}_{x-1}}}=\gamma _{x}\gamma _{x}+^{1}\!\gamma _{x}\gamma _{x-1}+^{2}\!\gamma _{x}\gamma _{x-2}+\ldots +^{n-1}\!\gamma _{x}\gamma _{x-n+1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c26bde47fc4240741980276267c475b80b79eec)
étant des fonctions de
et de leurs différences finies. J’observe maintenant que, pour former les valeurs de
j’ai considéré (Article précédent) les quantités
dans cet ordre
![{\displaystyle u_{x},\quad ^{1}\!u_{x},\quad ^{2}\!u_{x},\quad \ldots ,\quad ^{n-1}\!u_{x}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a32c09d2c6b0367d2ea7d09963edac6a86c1c493)
mais si, au lieu de cela, je les eusse considérées dans l’ordre suivant
![{\displaystyle ^{1}\!u_{x},\quad u_{x},\quad ^{2}\!u_{x},\quad \ldots ,\quad ^{n-1}\!u_{x},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee836c14d3c5961a98e6bf86766a52cad8238570)
je serais parvenu à l’équation suivante
![{\displaystyle ^{n-1}\!\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {X} _{x-1}}{\left({\overset {n-1}{u}}_{x-1}\right)}}=\left(\gamma _{x}\right)\gamma _{x}+\left(^{1}\!\gamma _{x}\right)\gamma _{x-1}+\ldots +\left(^{n-1}\!\gamma _{x}\right)\gamma _{x-n+1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f887df874fd51e1f1013b46e93b7f8df85b61ed3)
étant ce que deviennent
lorsqu’on y change
en
et
en
Si j’avais supposé
je serais parvenu