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partant, en intégrant,

$u_{x}=\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {X} _{x+1}}{\nabla \mathrm {H} _{x+1}}},$

$\mathrm {A}$ étant une constante arbitraire. On a donc

$y_{x}=\nabla \mathrm {H} _{x}\left(\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {X} _{x+1}}{\nabla \mathrm {H} _{x+1}}}\right).$

Si $\mathrm {H} _{x}$ était constant et égal à $p,$ on aurait

$\nabla \mathrm {H} _{x}=p^{x}\quad$et$\quad y_{x}=p^{x}\left(\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {X} _{x+1}}{p^{x+1}}}\right).$

IV.

Problème II. – L’équation diffèrentio-différentielle

(B)

$y_{x}=\mathrm {H} _{x}y_{x-1}+^{1}\!\mathrm {H} _{x}y_{x-2}+^{2}\!\mathrm {H} _{x}y_{x-3}+\ldots +^{n-1}\!\mathrm {H} _{x}y_{x-n}+\mathrm {X} _{x}$

étant donnée, on propose de l’intégrer.

Je fais

(C)

$y_{x}=\alpha _{x}y_{x-1}+\mathrm {T} _{x},$

$\alpha _{x}$ et $\mathrm {T} _{x}$ étant deux nouvelles variables, et j’en conclus les équations suivantes :

${\begin{aligned}y_{x-1}=&\alpha _{x-1}y_{x-2}+\mathrm {T} _{x-1},\\y_{x-2}=&\alpha _{x-2}y_{x-3}+\mathrm {T} _{x-2},\\y_{x-3}=&\alpha _{x-3}y_{x-4}+\mathrm {T} _{x-3},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\y_{x-n+1}=&\alpha _{x-n+1}y_{x-n}+\mathrm {T} _{x-n+1}\,;\end{aligned}}$

je multiplie la première de ces équations par $-^{1}\!{\text{ϐ}},$ la deuxième par $-^{2}\!{\text{ϐ}},$ la troisième par $-^{3}\!{\text{ϐ}},\ldots$ et je les ajoute avec l’équation (C) ; ce qui me donne

${\begin{aligned}y_{x}=&\left(\alpha _{x}+^{1}\!{\text{ϐ}}\right)y_{x-1}+\left(-^{1}\!{\text{ϐ}}\alpha _{x-1}+^{2}\!{\text{ϐ}}\right)y_{x-2}\\&+\left(-^{2}\!{\text{ϐ}}\alpha _{x-2}+^{3}\!{\text{ϐ}}\right)y_{x-3}+\ldots -^{n-1}\!{\text{ϐ}}\alpha _{x-n+1}y_{x-n}\\&+\mathrm {T} _{x}-^{1}\!{\text{ϐ}}\mathrm {T} _{x-1}-^{2}\!{\text{ϐ}}\mathrm {T} _{x-2}-\ldots -^{n-1}\!{\text{ϐ}}\mathrm {T} _{x-n+1}.\end{aligned}}$