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est du premier ordre, celle-ci

$y_{x}=\mathrm {H} _{x}y_{x-1}+^{1}\!\mathrm {H} _{x}y_{x-2}+\mathrm {X} _{x}$

est du second ordre, et ainsi de suite.

Comme dans la suite j’aurai besoin de caractéristiques pour désigner la différence finie des quantités, leurs intégrales finies, le produit de tous les termes d’une suite, je me servirai pour cela des suivantes.

La caractéristique $\Delta$ placée devant une quantité en désignera, comme ci-dessus, la différence finie : ainsi $\Delta \mathrm {H} _{x}$ exprimera la différence finie de $\mathrm {H} _{x}\,;$ la caractéristique $\sum$ placée devant une quantité en désignera l’intégrale finie : ainsi $\sum \mathrm {H} _{x}$ signifiera l’intégrale finie de $\mathrm {H} _{x}\,;$ enfin la caractéristique $\nabla$ désignera le produit de tous les termes d’une suite : ainsi $\nabla \mathrm {H} _{x}$ représentera le produit $\mathrm {H_{1},H_{2},H_{3},\ldots H_{x}}$ de tous les termes de la suite $\mathrm {H_{1},H_{2},H_{3},\ldots H_{x}} .$

III.

Problème I. – L’équation différentielle du premier ordre

$y_{x}=\mathrm {H} _{x}y_{x-1}+\mathrm {X} _{x}$

étant donnée, on propose de l’intégrer.

Je fais dans cette équation $y_{x}=u_{x}\nabla \mathrm {H} _{x}\,;$ elle devient

$u_{x}\nabla \mathrm {H} _{x}=\mathrm {H} _{x}u_{x-1}\nabla \mathrm {H} _{x-1}+\mathrm {X} _{x}\,;$

mais on a

$\mathrm {H} _{x}\nabla \mathrm {H} _{x-1}=\nabla \mathrm {H} _{x},$

partant

$u_{x}=u_{x-1}+{\frac {\mathrm {X} _{x}}{\nabla \mathrm {H} _{x}}}\quad$ou$\quad \Delta u_{x-1}={\frac {\mathrm {X} _{x}}{\nabla \mathrm {H} _{x}}}\,;$

et, comme cette équation a lieu quel que soit $x,$ on aura

$\Delta u_{x}={\frac {\mathrm {X} _{x+1}}{\nabla \mathrm {H} _{x+1}}},$