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Mémoires de Turin). Je me suis proposé ensuite d’approfondir ce calcul intéressant, dans un Mémoire imprimé dans le Tome IV de ceux de Turin ; et depuis, ayant eu occasion d’y réfléchir davantage, j’ai fait sur cela de nouvelles recherches dont je rendrai bientôt compte. Je dois observer ici que M. le marquis de Condorcet a donné d’excellentes choses sur cette matière, dans son Traité du Calcul intégral, et dans les Mémoires de l’Académie.

Il n’était question jusqu’alors que des équations aux différences ordinaires et des suites qui en dépendent ; mais la solution de plusieurs problèmes sur les hasards m’a conduit à une nouvelle espèce de suites que j’ai nommées récurro-récurrentes, et dont je crois avoir donné le premier la théorie et indiqué l’usage dans la Science des probabilités (voir le t. VI des Savants étrangers)^[1]. Les équations dont ces suites dépendent sont à peu près, dans les différences finies, ce que les équations aux différences partielles sont dans les différences infiniment petites ; ce que j’ai donné sur ces équations n’est qu’un essai : en les approfondissant, j’ai vu qu’elles étaient fort importantes dans la Théorie des chances, et qu’elles donnaient une méthode de les traiter beaucoup plus généralement qu’on ne l’a fait encore : c’est ce qui m’engage à les considérer de nouveau ; mais, les nouvelles recherches que j’ai faites sur cet objet supposant celles que j’ai déjà données, je vais reprendre ici toute cette matière.

II.

On peut concevoir ainsi les équations aux différences finies ; j’imagine la suite

$y_{1},\quad y_{2},\quad y_{3},\quad y_{4},\quad y_{5},\quad \ldots ,y_{x},$

formée suivant une loi telle que l’on ait constamment

(A)

$\mathrm {X} _{x}=\mathrm {M} _{x}y_{x}+\mathrm {N} _{x}\Delta y_{x}+\mathrm {P} _{x}\Delta ^{2}y_{x}+\ldots +\mathrm {S} _{x}\Delta ^{n}y_{x}\,;$

les nombres $1,2,3,\ldots ,x,$ placés au bas des $y,$ indiquent le rang

1. Voir p. 5.