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zéro, est une solution particulière de l’équation différentielle

$dy=pdx.$

On trouvera la démonstration de ce théorème et de plusieurs autres analogues sur les équations différentielles du second ordre, dans un Mémoire intitulé : Recherches sur les solutions particulières des équations différentielles, qui paraîtra parmi ceux de l’Académie pour l’année 1772 ^[1].

Sur les équations aux différences partielles.

Théorème I. – L’intégrale d’une équation linéaire aux différences partielles de l’ordre $n$ renferme $n$ fonctions arbitraires ; ces fonctions peuvent entrer dans l’intégrale avec leurs différences premières, deuxièmes, troisièmes, etc., mais ces fonctions et leurs différences ne peuvent y entrer que sous une forme linéaire ; ainsi, l’équation générale linéaire du deuxième ordre,

$0={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}+\alpha {\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}+{\text{ϐ}}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}+\gamma {\frac {\partial z}{\partial x}}+\delta {\frac {\partial z}{\partial y}}+\lambda z+\tau ,$

$\alpha ,{\text{ϐ}},\gamma ,\delta$ et $\tau$ étant des fonctions de $x$ et de $y,$ a nécessairement une intégrale de cette forme

${\begin{aligned}z=\mathrm {H} &+\mathrm {A} \varphi (\varpi )+\mathrm {B} \varphi '(\varpi )+\mathrm {C} \varphi ''(\varpi )+\ldots \\&+\mathrm {P} \psi (\theta )+\mathrm {Q} \psi '(\theta )+\mathrm {R} \psi ''(\theta )+\ldots .\end{aligned}}$

$\varphi (\varpi )$ et $\psi (\theta )$ étant deux fonctions arbitraires, $\varphi '(\varpi )$ représentant ${\frac {d\varphi (\varpi )}{d\varpi }},$$\varphi ''(\varpi )={\frac {d\varphi '(\varpi )}{d\varpi }},$ et ainsi de suite ; et $\mathrm {H,A,B,C,\ldots ,P,Q,R} ,\ldots$ étant fonctions de $x$ et de $y.$

Les quantités $\varpi$ et $\theta$ se déterminent en cherchant des valeurs qui satis-

1. La méthode dont j’ai fait usage vient de paraître dans les Actes de Leipzig pour l’année 1771. Mais, comme il s’est glissé, durant l’impression, plusieurs fautes assez considérables, et que d’ailleurs j’ai eu depuis occasion d’approfondir davantage cette matière, je prie le lecteur de suivre mes recherches sur cet objet, dans le Volume de l’Académie pour l’année 1772.