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Ce problème présente quelques difficultés et exige des considérations particulières, en ce que les quantités $\varpi ,\varpi ',\varpi '',\ldots$ dépendent mutuellement les unes des autres, ce qui rend les différentes valeurs qu’on peut leur donner plus ou moins probables ; pour simplifier le calcul, au lieu du dé, j’imagine un prisme triangulaire qui ne puisse retomber que sur ses trois faces rectangulaires ; cela posé, en supposant $\varpi$ fort petit et $n$ peu considérable, l’espérance de $\mathrm {A}$ est

$a-{\frac {2^{n}}{3^{n}}}a-{\frac {n(n-1)}{1.2}}{\frac {2^{n-2}}{3^{n+1}}}a\left(\varpi ^{2}+\varpi '^{2}+\varpi ''^{2}\right)\,;$

présentement, puisque l’on a $\varpi +\varpi '+\varpi ''=0,$ on aura $\varpi ''=-\varpi -\varpi '\,;$ donc l’espérance de $\mathrm {A}$ est

$a-{\frac {2^{n}}{3^{n}}}a-{\frac {n(n-1)}{1.2}}{\frac {2^{n-1}}{3^{n+1}}}a\left(\varpi ^{2}+\varpi \varpi '+\varpi '^{2}\right)\,;$

je suppose d’abord $\varpi$ positif et constant, et je cherche dans cette supposition l’espérance de $\mathrm {A} .$ Pour cela, je multiplie la quantité précédente par $d\varpi ,$ ce qui donne, après avoir intégré,

$a\varpi -{\frac {2^{n}}{3^{n}}}a\varpi -{\frac {n(n-1)}{1.2}}{\frac {2^{n-1}}{3^{n+1}}}a\left({\frac {1}{3}}\varpi ^{3}+{\frac {\varpi '\varpi ^{2}}{2}}+\varpi '^{2}\varpi \right)+C.$

Or la plus grande valeur positive que puisse avoir $\varpi$ est ${\frac {1}{q}}-\varpi '\,;$ ainsi, en supposant l’intégrale nulle lorsque $\varpi =0,$ on aura $\mathrm {C} =0,$ et l’intégrale qui convient à $\varpi$ positif est

$\left(a-{\frac {2^{n}}{3^{n}}}a\right)\left({\frac {1}{q}}-\varpi '\right)-{\frac {n(n-1)}{1.2}}{\frac {2^{n-1}}{3^{n+1}}}a$

$\times \left[{\frac {1}{3}}\left({\frac {1}{q}}-\varpi '\right)^{3}+{\frac {\varpi '}{2}}\left({\frac {1}{q}}-\varpi '\right)^{2}+\varpi '^{2}\left({\frac {1}{q}}-\varpi '\right)\right].$

Pour avoir l’intégrale qui convient à $\varpi$ négatif, je fais $\varpi$ négatif dans la valeur donnée ci-dessus de l’espérance de $\mathrm {A} ,$ laquelle devient alors

$a-{\frac {2^{n}}{3^{n}}}a-{\frac {n(n-1)}{1.2}}{\frac {2^{n-1}}{3^{n+1}}}a\left(\varpi ^{2}+\varpi '\varpi +\varpi '^{2}\right).$

Si l’on multiplie cette quantité par $d\varpi ,$ et que l’on intègre, on aura

$\left(a-{\frac {2^{n}}{3^{n}}}a\right)\varpi -{\frac {n(n-1)}{1.2}}{\frac {2^{n-1}}{3^{n+1}}}a\left({\frac {1}{3}}\varpi ^{3}-{\frac {1}{2}}\varpi '\varpi ^{2}+\varpi '^{2}\varpi \right)\,;$