supposons ensuite que la probabilité pour croix soit
l’espérance de
sera égale à
Or, comme il est aussi naturel d’attribuer à croix comme à pile la probabilité
si l’on nomme
l’espérance de
on aura
![{\displaystyle \mathrm {E} =1+{\frac {1-\varpi ^{2}}{2\varpi }}\left[(1+\varpi )^{x-1}-(1-\varpi )^{x-1}\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a3647a66509cdd67e6cd469cbbb40dca8de7d40)
si l’on regarde
comme fort petit, on aura, tant que
ne sera pas considérable.
![{\displaystyle \mathrm {E} =x+\left[{\frac {(x-1)(x-2)(x-3)}{1.2.3}}-{\frac {x-1}{1}}\right]\varpi ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6afc77c3bcaf555ee4c4673f6514af917d9fd938)
Ainsi l’espérance de
est moindre que
si
est au-dessous de
et plus grand que
elle égale
si
Après un plus grand nombre de coups, l’espérance de
devient plus grande que
et, posant
infinie, elle est infiniment plus grande.
Comme la valeur de
est inconnue, il n’est guère possible d’évaluer ainsi l’espérance de
pour un nombre
de coups ; cependant, si l’on est assuré que
ne peut excéder une certaine quantité, par exemple,
mais qu’il puisse être également un des nombres fractionnaires compris entre
et
on peut calculer de cette manière l’espérance de
Si l’on conçoit la fraction
partagée dans une infinité de parties égales, représentées par
il est clair que l’élément de l’espérance de
sera égal à
et l’espérance totale sera
![{\displaystyle \int \mathrm {E} qd\varpi =\int q\left(1+{\frac {1-\varpi ^{2}}{2\varpi }}\right)\left[(1+\varpi )^{x-1}-(1-\varpi )^{x-1}\right]d\varpi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12c972fb7c93a63e03db550a0b9b3acf96aef861)
(en intégrant et ajoutant la constante convenable)
![{\displaystyle {\begin{aligned}=n&+\left[{\frac {(n-1)(n-2)(n-3)}{1.2.3}}-{\frac {n-1}{1}}\right]{\frac {1}{3q^{2}}}\\&+\left[{\frac {(n-1)\ldots (n-5)}{1.2.3.4.5}}-{\frac {(n-1)\ldots (n-3)}{1.2.3}}\right]{\frac {1}{5q^{4}}}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce4b86cb8dad545a09d9733d57ae933f406863f8)