Pour intégrer ces quantités, on doit observer que
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int m^{4}e^{-\mathrm {K} m}dm=&-{\frac {1}{\mathrm {K} }}m^{4}e^{-\mathrm {K} m}+\int {\frac {4}{\mathrm {K} }}m^{3}e^{-\mathrm {K} m}dm\\=&-{\frac {1}{\mathrm {K} }}m^{4}e^{-\mathrm {K} m}-{\frac {4}{\mathrm {K} ^{2}}}m^{3}e^{-\mathrm {K} m}+\int {\frac {3.4}{\mathrm {K} ^{2}}}m^{2}e^{-\mathrm {K} m}dm,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d42e64764447f2f55df752b68319ae021cd718c5)
et ainsi de suite. Partant,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int m^{4}e^{-\mathrm {K} m}dm=&\mathrm {C} -{\frac {1}{\mathrm {K} }}m^{4}e^{-\mathrm {F} m}-{\frac {4}{\mathrm {K} ^{2}}}m^{3}e^{-\mathrm {K} m}\\&-{\frac {3.4}{\mathrm {K} ^{3}}}m^{2}e^{-\mathrm {K} m}-{\frac {2.3.4}{\mathrm {K} ^{4}}}me^{-\mathrm {K} m}-{\frac {1.2.3.4.5}{\mathrm {K} ^{5}}}e^{-\mathrm {K} m}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78087c100ad0fefe3c98b36ea2bdf93453105d67)
Puisque cette intégrale doit s’évanouir lorsque
on a
![{\displaystyle \mathrm {C} ={\frac {1.2.3.4.5}{\mathrm {K} ^{5}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c3f1f9e9b45da3f86f819c90b9a20440fb945ab)
d’ailleurs, comme elle doit finir lorsque
on a dans ce cas
![{\displaystyle m^{4}e^{-\mathrm {K} m}=0,\qquad m^{3}e^{-\mathrm {K} m}=0,\qquad \ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a15a3c3a66e1ecf471cb1cb794f49706310a416)
partant,
![{\displaystyle \int m^{4}e^{-\mathrm {K} m}dm={\frac {1.2.3.4.5}{\mathrm {K} ^{5}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e01e0e2a86f9e6c20f4e30fde90c5bd4d02e0d7)
On aura ainsi, pour obtenir
l’équation suivante :
![{\displaystyle (\omega )\ \left\{{\begin{aligned}&{\frac {1}{(3p+2q-x)^{5}}}-{\frac {1}{3(4p+2q-x)^{5}}}-{\frac {1}{3(3p+3q-x)^{5}}}\\&={\frac {1}{(2p+2q)^{5}}}-{\frac {1}{3(2p+3q)^{5}}}-{\frac {1}{9(4p+2q)^{5}}}+{\frac {1}{9(2p+4q)^{5}}}.\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b84f3b13135aa1f0bb5f72d4ae9bc53bb0e4fd41)
Cette équation monte au quinzième degré et donne quinze valeurs pour
mais on doit observer que, dans le cas du problème précédent,
doit être positive et moindre que
ce qui rend un grand nombre de ces valeurs inutiles ; s’il y en avait cependant plusieurs qui satisfissent à ces deux conditions, il serait impossible de déterminer laquelle est préférable. Heureusement cela n’arrive point ici, et nous allons faire voir qu’il n’y en a qu’une seule qui y satisfasse, ce qu’il est essentiel de remarquer pour l’usage de cette méthode.