D’où il résulte, par le principe de l’Article II, que la probabilité de
est proportionnelle à
![{\displaystyle m^{2}e^{-m(p+q)}\left(1-{\frac {1}{3}}e^{-mp}-{\frac {1}{3}}e^{-mq}\right)dm\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbe3e697c4affd901c4423c4fe9ed6b567957686)
on voit par là que la probabilité de
ou infiniment petit, supposition que donne la méthode des milieux arithmétiques, est infiniment moindre que celle de
égal à une quantité finie quelconque.
Présentement, si l’on nomme
la probabilité, correspondante à
que le véritable instant du phénomène tombe à la distance
du point
la probabilité entière que cet instant tombera à cette distance sera proportionnelle à
![{\displaystyle \int ym^{2}e^{-m(p+q)}\left(1-{\frac {1}{3}}e^{-mp}-{\frac {1}{3}}e^{-mq}\right)dm,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08d132e937bb3d4f56c6170961a888df41b40839)
l’intégrale étant prise de manière qu’elle commence lorsque
et finisse lorsque
si donc on construit sur l’axe
une nouvelle courbe
dont les ordonnées soient proportionnelles à cette quantité, l’ordonnée
qui divisera l’aire de cette courbe en deux parties égales coupera l’axe au point que l’on doit prendre pour milieu entre les trois observations.
L’aire de cette nouvelle courbe sera évidemment proportionnelle à l’intégrale du produit de l’aire de la courbe
par
![{\displaystyle m^{2}e^{-m(p+q)}\left(1-{\frac {1}{3}}e^{-mp}-{\frac {1}{3}}e^{-mq}\right)dm.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9af3ce342f3ff25a2a3cbb91a4cb472f8bf88be)
Donc, puisque, pour déterminer
dans une supposition particulière pour
on a
![{\displaystyle m^{2}e^{-m(2p+q-x)}=m^{2}e^{-m(p+q)}\left(1+{\frac {1}{3}}e^{-mp}-{\frac {1}{3}}e^{-mq}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9072d7becd7325d88eb3fccaf7195fd58674178)
on aura
![{\displaystyle \int m^{4}e^{-m(3p+2q-x)}\left(1-{\frac {1}{3}}e^{-mp}-{\frac {1}{3}}e^{-mq}\right)dm}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e6e8ae58e85bc953080ab715723431fcab5fdd5)
![{\displaystyle =\int m^{4}e^{-m(2p+2q)}\left(1+{\frac {1}{3}}e^{-mp}-{\frac {1}{3}}e^{-mq}\right)\left(1-{\frac {1}{3}}e^{-mp}-{\frac {1}{3}}e^{-mq}\right)dm,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c8083dbabf0e59a7908c572f0b1dfbd77303f9d)
en intégrant de manière que les intégrales commencent lorsque
et finissent lorsque