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Donc la somme qui doit véritablement revenir au joueur $\mathrm {B}$ est

${\frac {\begin{aligned}&a\int x^{n-f}(1-x)^{f+n-1}\times \\&\left[1+{\frac {x}{1-x}}(f+h-1)+\ldots +{\frac {x^{f-1}}{(1-x)^{f-1}}}{\frac {(f+h-1)\ldots (h+1)}{1.2.3\ldots (f-1)}}\right]dx\end{aligned}}{\int x^{n-f}(1-x)^{n-h}dx}},$

les deux intégrales étant prises de manière qu’elles soient nulles lorsque $x=0$ et qu’elles finissent lorsque $x=1.$ De là, on conclura facilement

$\int x^{n-f}(1-x)^{n-h}dx={\frac {1.2.3\ldots (n-h)}{(n-f+1)\ldots (2n-f-h+1)}}\,;$

pareillement

$\int x^{n-f}(1-x)^{f+n-1}dx={\frac {1.2.3\ldots (f+n-1)}{(n-f+1)\ldots 2n}},$

et ainsi du reste.

D’où l’on aura, pour la somme qui doit revenir à $\mathrm {B} ,$

${\frac {a(n-h+1)\ldots (n+f-1)}{(2n-f-h+2)\ldots 2n}}\left[1+{\frac {f+h-1}{1}}{\frac {n-f+1}{f+n-1}}\right.$

$+{\frac {(f+h-1)(f+h-2)}{1.2}}\ {\frac {(n-f+1)(n-f+2)}{(f+n-1)(f+n-2)}}+\ldots$

$\left.+{\frac {(f+h-1)\ldots (h+1)}{1.2.3\ldots (f-1)}}\ {\frac {(n-f+1)\ldots (n-1)}{(f+n-1)\ldots (n+1)}}\right].$

V.

On peut, au moyen de la théorie précédente, parvenir à la solution du problème qui consiste à déterminer le milieu que l’on doit prendre entre plusieurs observations données d’un même phénomène. Il y a deux ans que j’en donnai une à l’Académie, à la suite du Mémoire sur les séries récurro-récurrentes, imprimé dans ce Volume ^[1] ; mais le peu d’usage dont elle pouvait être me la fit supprimer lors de l’impression. J’ai appris depuis, par le Journal astronomique de M. Jean Bernoulli, que MM. Daniel Bernoulli et Lagrange se sont occupés du même Problème dans deux Mémoires manuscrits qui ne sont point venus à ma

1. Voir p. 5.