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$z=\omega .$ Semblablement nous aurons, avec les mêmes conditions,

$\int \left(1-{\frac {p+q}{p}}z\right)^{p}\left(1+{\frac {p+q}{q}}z\right)^{q}dz$

$=\mathrm {K} '-\left(1-{\frac {p+q}{p}}\omega \right)^{p}\left(1+{\frac {p+q}{q}}\omega \right)^{q}{\frac {pq}{(p+q)^{3}\omega }},$

$\mathrm {K} '$ étant ce que devient $\mathrm {K}$ lorsqu’on y change $p$ en $q$ et $q$ en $p\,;$ nous aurons, par conséquent,

${\begin{aligned}\mathrm {E} =&{\frac {(p+1)\ldots (p+q+1)}{1.2.3\ldots q}}{\frac {p^{p}q^{q}}{(p+q)^{p+q}}}\\&\qquad \quad \times \left[\quad \mathrm {K} -\left(1+{\frac {p+q}{p}}\omega \right)^{p}\left(1-{\frac {p+q}{q}}\omega \right)^{q}{\frac {pq}{(p+q)^{3}\omega }}\right.\\&\qquad \qquad \quad +\left.\mathrm {K} '-\left(1-{\frac {p+q}{p}}\omega \right)^{p}\left(1+{\frac {p+q}{q}}\omega \right)^{q}{\frac {pq}{(p+q)^{3}\omega }}\right].\end{aligned}}$

Mais on a visiblement

${\frac {(p+1)\ldots (p+q+1)}{1.2.3\ldots q}}{\frac {p^{p}q^{q}}{(p+q)^{p+q}}}(\mathrm {K+K'} )=1,$

d’où l’on tirera facilement

${\begin{aligned}&\mathrm {E} =1-{\frac {-{\sqrt {pq}}}{\omega {\sqrt {2\pi }}(p+q)^{\frac {3}{2}}}}\times \\&\left[\left(1+{\frac {p+q}{p}}\omega \right)^{p}\left(1-{\frac {p+q}{q}}\omega \right)^{q}+\left(1-{\frac {p+q}{p}}\omega \right)^{p}\left(1+{\frac {p+q}{q}}\omega \right)^{q}\right].\end{aligned}}$

On peut juger par cette formule de l’erreur que l’on commet en faisant $\mathrm {E} =1.$

IV.

Problème II. – Deux joueurs $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ dont les adresses respectives sont inconnues, jouent à un jeu quelconque, par exemple au piquet, à cette condition que celui qui, le premier, aura gagné le nombre $n$ de parties, obtiendra une somme $a$ déposée au commencement du jeu ; je suppose que les deux joueurs soient forcés d’abandonner le jeu, lorsqu’il manque $f$ parties au joueur $\mathrm {A} ,$ et $h$ parties au joueur $\mathrm {B} \,;$ cela posé, on demande comment on doit partager la somme $a$ entre les deux joueurs.

Solution. – Si les adresses respectives des deux joueurs $\mathrm {A}$ et \mathrm B étaient supposées connues, et qu’elles fussent dans la raison de $p$ à $q,$