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l’équation (D) deviendra donc

$(\mathrm {E} )\left\{{\begin{aligned}&-{\frac {fx}{2\pi }}={\frac {2^{2}}{3.5}}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}x-{\frac {2^{3}}{3.5.7}}{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}\left(x^{2}+{\frac {1}{2}}\right)+\ldots \\&\pm 2^{n}{\frac {d^{n}y}{1.3.5\ldots (2n+1)dx^{n}}}\\&\times \left\{{\begin{aligned}&x^{n-1}+{\frac {(n-1)(n-2)}{2^{2}}}x^{n-3}\\&+{\frac {(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{2^{2}.4^{2}}}x^{n-5}\\&+{\frac {(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}x^{n-7}+\ldots \end{aligned}}\right\},\\&\mp \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}\right.$

Telle est l’équation infinie qu’il faut résoudre pour avoir la valeur de $y.$

VII.

Il est évident que l’équation $d^{3}y=0$ en est une intégrale particulière, ce qui donne une ellipse pour la courbe du méridien ; on aura, dans ce cas, $y=cx^{2}+bx+a\,;$ l’équation (E) donne, en y substituant au lieu de $y$ cette valeur, $c=-{\frac {15}{16}}{\frac {f}{\pi }}\,;$ de plus, il est visible, à l’inspection de la figure, que $y$ est zéro, lorsque $x=1$ et lorsque $x=-1,$ ce qui donne $c+b+a=0$ et $c-b+a=0,$ d’où l’on tire $b=0$ et $a=-c\,;$ partant,

$y={\frac {15}{16}}{\frac {f}{\pi }}\left(1-x^{2}\right)={\frac {15}{16}}{\frac {f}{\pi }}\sin ^{2}\theta \,;$

donc le rayon $\mathrm {CM}$ du sphéroïde est égal à

$1+\alpha {\frac {15}{16}}{\frac {f}{\pi }}\sin ^{2}\theta .$

Je suppose qu’à l’équateur la force centrifuge soit à la pesanteur comme $\alpha m:1\,;$ on pourra, en regardant le sphéroïde comme une sphère, supposer la pesanteur égale à la masse divisée par le carré du rayon $\mathrm {CA} ,$ ce qui donne ${\frac {4}{3}}\pi$ pour l’expression de cette force ; on a donc $\alpha f=\alpha m{\frac {4}{3}}\pi \,;$ partant, $\mathrm {CM} =1+{\frac {5}{4}}\alpha m\sin ^{2}\theta .$ Il suit de là que le rayon de l’équateur