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on a

$\int dq\cos m(\theta -2q)=0,$

$m$ étant un nombre entier quelconque ; de là il est aisé de conclure

$\int dq\left[\cos \theta -\cos(\theta -2q)\right]^{r}=\pi$

$\left\{{\begin{aligned}x^{r}&+{\frac {r(r-1)}{2^{2}}}x^{r-2}+{\frac {r(r-1)(r-2)(r-3)}{2^{2}.4^{2}}}x^{r-4}\\&+{\frac {r(r-1)(r-2)(r-3)(r-4)(r-5)}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}x^{r-6}+\ldots \end{aligned}}\right\}\,;$

l’équation (C) deviendra donc

(D)$\qquad -{\frac {fx}{2\pi }}=\int dp\sin p\cos ^{2}p$

$\times \left\{{\begin{aligned}&\sin ^{2}p{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}x\\-&\sin ^{4}p{\frac {d^{3}y}{1.2dx^{3}}}\left(x^{2}+{\frac {1}{2}}\right)\\+&\sin ^{6}p{\frac {d^{4}y}{1.2.3dx^{4}}}\left(x^{3}+{\frac {3}{2}}x\right)\\-&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\pm &\sin ^{2n-2}p{\frac {d^{n}y}{1.2.3\ldots (n-1)dx^{n}}}\\&\times \left[x^{n-1}+{\frac {(n-1)(n-2)}{2^{2}}}x^{n-3}\right.\\&\qquad \left.+{\frac {(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{2^{2}.4^{2}}}x^{n-5}+\ldots \right]\\\mp &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}$

le signe $+$ ayant lieu si $n$ est pair et le signe $-$ s’il est impair.

Mais on a

$\int dp\sin ^{2n-1}p\cos ^{2}p={\frac {1}{2n}}\sin ^{2n}p\cos p+{\frac {1}{2n}}\int dp\sin ^{2n+1}p\,;$

et, en intégrant depuis $p=0$ jusqu’à $p=180^{\circ },$ on a

$\int dp\sin ^{2n-1}p\cos ^{2}p={\frac {1}{2n}}\int dp\sin ^{2n+1}p\,;$

de plus,

$\int dp\sin ^{2n+1}p={\frac {2.2.4.6\ldots 2n}{1.3.5\ldots (2n+1)}}\,;$

donc

$\int dp\sin ^{2n-1}p\cos ^{2}p={\frac {2^{n}.1.2.3\ldots (n-1)}{1.3.5\ldots (2n+1)}}\,;$