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on a pareillement

$\iint \sin pdpdq=2\pi \qquad$et$\qquad \iint 2h\sin ^{3}p\sin q\cos qdpdq=0\,;$

donc si l’on fait pour plus de simplicité $a=1,$ on aura, pour l’attraction du sphéroïde sur le point $\mathrm {M} ,$ suivant $\mathrm {MC} ,$

$\iint (r'+r)\sin ^{2}p\sin qdpdq$

$={\frac {4}{3}}h\pi -{\frac {2}{3}}\pi \alpha \varphi (\cos \theta )+\iint \alpha dpdq\sin p\varphi \left[\cos \theta +2\sin ^{2}p\sin q\sin(\theta -q)\right]\,;$

je nomme $\mathrm {A}$ cette quantité.

On aura ensuite, pour l’action du sphéroïde suivant $\mathrm {MO}$ perpendiculaire à $\mathrm {MC} ,$

$\iint (r'+r)dpdq\sin ^{2}p\cos q$

$=\iint {\frac {\alpha dpdq\sin p\cos q}{\sin q}}\left\{\varphi \left[\cos \theta +2\sin ^{2}p\sin q\sin(\theta -q)\right]-\varphi (\cos \theta )\right\}\,;$

je nomme $\alpha \mathrm {B}$ cette quantité, et j’observe qu’elle peut être mise sous une forme plus simple ; car, en intégrant par parties par rapport à $p,$ on a

$\mathrm {B} =-\cos p\int {\frac {dq\cos q}{\sin q}}\left\{\varphi \left[\cos \theta +2\sin ^{2}p\sin q\sin(\theta -q)\right]-\varphi (\cos \theta )\right\}+\mathrm {C}$

$+\iint 4dpdq\sin p\cos ^{2}p\cos q\sin(\theta -q)\varphi '\left[\cos \theta +2\sin ^{2}p\sin q\sin(\theta -q)\right],$

en désignant par $\varphi '(\theta )$ la différence de $\varphi (\theta ),$ divisée par $d\cos \theta \,;$ la constante arbitraire $\mathrm {C}$ doit être déterminée par la condition que l’intégrale commence lorsque $p=0,$ et cette intégrale doit se terminer lorsque $p=180^{\circ }\,;$ or on a, dans ces deux cas,

$\varphi \left[\cos \theta +2\sin ^{2}p\sin q\sin(\theta -q)\right]-\varphi (\cos \theta )=0\,;$

donc $\mathrm {C} =0\,;$ partant,

$\mathrm {B} =\iint 4dpdq\sin p\cos ^{2}p\cos q\sin(\theta -q)\varphi '\left[\cos \theta +2\sin ^{2}p\sin q\sin(\theta -q)\right]\,;$

or on a

$2\cos q\sin(\theta -q)=\sin \theta +\sin(\theta -2q)$