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On a, par ce qui précède,

$\mathrm {ZL} =r\sin p\cos q\quad$et$\quad \mathrm {TL} =r\sin psinq\,;$

donc

$\mathrm {LC} =h-r\sin p\sin q,$

et si l’on mène $\mathrm {LH}$ perpendiculairement sur $\mathrm {CA} ,$ on aura

$\mathrm {CH=LC} \cos \theta -(h-r\sin p\sin q)\cos \theta .$

Si du point $\mathrm {Z}$ on abaisse $\mathrm {ZS}$ perpendiculairement sur $\mathrm {LH} ,$ on aura

$\mathrm {ZS=ZL} \sin \theta =r\sin p\cos q\sin \theta \,;$

or, $\mathrm {ZK}$ étant perpendiculaire sur $\mathrm {AB} ,$ on a

$\mathrm {ZS=KH} \,;$

donc

$\mathrm {KH} =r\sin p\cos q\sin \theta \,;$

partant,

$\mathrm {CK=CH+HK} =h\cos \theta +r\sin p(\sin \theta \cos q-\cos \theta \sin q)$

ou

$\mathrm {CK} =h\cos \theta +r\sin p\sin(\theta -q).$

Présentement, on a

$\mathrm {{\overline {ZC}}^{2}={\overline {CL}}^{2}+{\overline {LZ}}^{2}} =(h-r\sin p\sin q)^{2}+r^{2}\sin ^{2}p\cos ^{2}q$

et

$\mathrm {{\overline {RZ}}^{2}} =r^{2}\cos ^{2}p\,;$

donc

$\mathrm {{\overline {RC}}^{2}} =(h-r\sin p\sin q)^{2}+r^{2}\sin ^{2}p\cos ^{2}q+r^{2}\cos ^{2}p$

$=h^{2}-2hr\sin p\sin q+r^{2}\,;$

l’équation

$\mathrm {{\overline {RC}}^{2}} =a^{2}\left[1+2\alpha \varphi (\mathrm {CK} )\right]$

devient donc

$r^{2}-2hr\sin p\sin q=a^{2}-h^{2}+2\alpha a^{2}\varphi \left[h\cos \theta +r\sin p\sin(\theta -q)\right]\,;$